4.3对数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

对数知识点总结与例题讲解
本节知识点
（1）对数的概念.
（2）对数式与指数式的互化.
（3）对数的性质.
（4）对数的运算性质.
（5）对数的换底公式.
知识点一 对数的概念
一般地,如果（且）,那么数叫做以为底N的对数,记作.其中叫做对数的底数,N叫做真数.
例如,因为,所以就是以16为底4的对数,记作.
对对数概念的理解:
（1）底数必须满足且;
（2）真数N大于0（负数和0没有对数）.
规定底数且的原因:
当时,N取某些值时,的值不存在.
例如,,但却不存在.
当时:
①若,则的值不存在;
②若,则的值是任意正数.（注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义）
当时:
①若,则的值不存在;
②若,则的值是任意实数.
所以在对数的定义里,规定底数且.
常用对数与自然对数
将以10为底的对数叫做常用对数,记作;将以无理数（）为底的对数叫做自然对数,记作.
根据对数概念,可以求参数的取值范围
例1. 求下列各式中的取值范围.
（1）; （2）.
分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足:
（1）底数且;
（2）真数.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围是;
（2）由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围是.
例2. 求下列对数式中的取值范围.
（1）; （2）.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围是;
（2）由题意可知:,解之得:且.
∴的取值范围是.
例3. 使（且）有意义的的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围是.选择【 B 】.
例4. 求中的取值范围.
解:由题意可知:
,解之得:.
∴的取值范围是.
例5. 使有意义的的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围是.选择【 C 】.
知识点二 指数式与对数式的互化
在与中,是同一个代表符号,只是名称不同.
例如,将指数式化为对数式为.
指数式与对数式的比较
表达形式 名称




指数式
底数 指数 幂
对数式
底数 对数 真数
知识点三 对数的性质
（1）负数和0没有对数.
（2）1的对数等于0,即（且）.
（3）底数的对数等于1,即（且）.
（4）对数恒等式（且）.
（5）（且）.
对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.
例如,.
例6. 将下列指数式改写成对数式:
（1）; （2）.
解:（1）∵,∴;
（2）∵,∴.
例7. 将下列对数式改写成指数式:
（1）; （2）.
解:（1）∵,∴;
（2）∵,∴.
点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清在两种形式中的准确位置:指数式,对数式.
需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如,就不能化为;,就不能化为.
例8. 计算下列各式的值:
（1）; （2）; （3）; （4）; （5）.
解:（1）;（对数的性质:）
（2）;
（3）;（对数恒等式:）
（4）;（对数的性质:1的对数等于0）
（5）.（对数的性质:底数的对数等于1）
例9. 计算:
（1）; （2）; （3）.
分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.
解:（1）设,则有,,,.
∴;
（2）设,则有,,,.
∴;
（3）设,则有,.
∴.
例10. 求下列各式中的:
（1）; （2）.
解:（1）∵,∴,;
（2）∵,∴,.
例11. 若,,则__________.
解:∵,∴,,.
∵,∴.
例12. 已知函数,若,则__________.
解:∵,∴,∴,解之得:.
点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即（,且）
例13. 设,,则的值为__________.
解:∵,,∴.
∴.
例14. 求下列各式的值:
（1）; （2）; （3）.
解:（1）;（对数恒等式:）
（2）;
（3）.
知识点四 对数的运算性质
如果,且,,则有:
（1）;
（2）;
（3）.
其中,对数的运算性质（1）可推广:.
常用推论:
（1）;
（2）.
例15. 证明对数的运算性质:
（且）
分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.
证明:设,则
∴,.
∴.
例16. 证明对数的运算性质:
（且）
证明:设,则
∴,
∴.
例17. 证明对数的运算性质:
（且）
证明:设,则
∴,
∴.
对数的运算性质的应用
例18. 化简求值:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解:（1）原式;
（2）原式;
（3）原式;
（4）原式.
例19. 计算:__________.
解:原式.
例20. 设,则__________.
解:∵
∴,∴.
∴.
例21. 计算:.
解:原式
.
例22. 计算:.
解:原式
.
例23. 计算:
（1）
（2）.
解:（1）原式
;
（2）原式
.
例24. 计算:.
解:原式.
点评 本题为易错题,易错误得到,实际上,此时真数,对数式无意义,应为.
例25. 若,则的值为__________.
解:∵
∴,解之得:.
∴的值为4.
例26. 若,则__________.
解:由得到,∴.
∴.
例27. 已知是方程的两个根,则的值是【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解:∵,∴.
∵是该方程的两个根
∴.
∴.
选择【 B 】.
例28. 计算:__________.
解:原式.
例29. 解下列方程:
（1）;
（2）.
解:（1）
∴,解之得:.
∴该方程的解为;
（2）
∴,解之得:,符合题意.
∴该方程的解为.
例30. 若,则【 】
（A）4 （B）10 （C）20 （D）40
解:∵,∴.
∴,解之得:.
选择【 D 】.
例31. 方程的解__________.
解:,∴.
∴,解之得:,即该方程的解为.
点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的.
例32. 计算:.
解:原式
.
例33.（1）计算:;
（2）已知,求的值.
解:（1）原式
;
（2）∵,∴
∴,.
∵,∴,∴或.
∵,∴,∴.
∴.
点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:
.
例34. 化简下列各式:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
（2）原式
.
例35. 化简下列各式:
（1）;
（2）.
解:（1）原式
;
（2）原式
.
解法二: 原式
.
例36. 若,则的值为__________.
解:,
∴（,舍去）
∴.
例37. 计算:.
解:原式.
例38.（1）已知,求的值;
（2）已知,求的值.
解:（1）∵,∴.
∵,且∴;
解法二:∵,∴,∴.
∴,,∴.
（2）,
∴
∴,解之得:.
即的值为5.
点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等.
例39. 若,则的值为__________.
解:∵,∴,∴.
∴.
点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即（且）.
例40. 若,则__________.（用含的式子表示）
解:∵,∴.
∴.
例41. 若,则等于【 】
（A）3 （B）5 （C）7 （D）10
解:∵,∴,∴.
∴.
选择【 B 】.
例42. 若,则__________.
解:∵,∴,即,∴.
∴.
例43. 方程的解为__________.
解:
∴,.
∴,.
∴或,解之得:或.
经检验,不符合题意,舍去.
∴,即该方程的解为.
例44. 已知方程的两个实数根分别为,则【 】
（A） （B）36 （C） （D）6
解:由题意可知:.
∴.
选择【 B 】.
例44. 已知,则__________.
分析:本题考查指数式与对数式的互化.
解:∵,∴.
∴.
例45. 若,则__________.
解:∵,∴,∴.
∴.
例46. 方程的解是__________.
解:,∴.
∴,∴或,解之得:或.
经检验,或都是原方程的解.
例47. 计算:.
解:原式
.
例48. 计算:.
解:原式
.
例49. 计算:.
解:原式
.
例50. 若,且,则
【 】
（A）0 （B） （C）1 （D）2
解法一:
∴,∴.
∴.
∴
.
选择【 D 】.
解法二:
∴,
∴,∴.
∴
.
知识点五 对数的换底公式
对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式.
换底公式:（且,且,）.
说明:
（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;
（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;
（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数.
换底公式的证明
分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化
证明:设,则.
在等式的两边同时取以为底的对数得:
,即.
∵,∴
∴,即.
其中,且,且,.
对数换底公式的几个常用推论:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
,或.
（5）.
例51. 计算:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
解法二:原式
;
（2）原式
.
解法二:原式
.
注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:
,.
例52. 计算:
（1）__________;
（2）__________.
解:（1）原式;
解法二:原式
;
（2）原式
.
解法二:原式
例53.（1）设,求的值;
（2）已知,求.
解:（1）∵
∴.
∴
;
点评 这里用到了对数换底公式的推论:.
（2）∵
∴
∴.
∴.
例54. 已知都是不等于1的正数,且,,求的值.
分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.
解法一:设,则,.
∴.
∵
∴.
解法二:设,则.
∵都是不等于1的正数
∴.
∵
∴,∴
∴.
例55. 计算的结果是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:.
选择【 A 】.
点评: 这里用到了对数的性质:（1）;（2）.
例56. 求下列对数式的值:
（1）;
（2）;
（3）.
解:（1）原式;
（2）原式;
（3）原式.
例57. __________.
解:原式
.
例58. 对数综合运算求值:
（1）;
（2）.
解:（1）原式
;
（2）原式
例59. 求下列式子的值:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
（2）原式.
例60. 给出下列各式:
①;②;③若,则;④由,得.
其中正确的是__________.（把正确的序号都填上）
答案 ①②
解:,故①正确;,故②正确;
若,则,故③错误; 由,得,故④错误.
例61. 计算的结果是__________.
解:原式.
例62. 计算__________.
解:原式
.
例63. 已知,则用表示__________.
解:∵
∴,,∴
∴.
例64.（1）已知,用表示;
（2）已知,用表示.
解:（1）∵,∴
∴;
（2）∵
∴.
例65. 解关于的方程:
（1）;
（2）.
解:（1）,
∴,解之得:.
∴该方程的解为;
（2）,
∴或,解之得:或.
经检验,和都是原方程的解.
例66. 方程的解是__________.
解:
∴,解之得:.
∴该方程的解为.
例67. 已知,若,,则__________.
解:设,则,,解之得:.
∵,∴,即,∴.
∴,.
∵,∴,∴,
∴,解之得:.
例68. 解方程:.
解:,
∴.
,解之得:.
∴该方程的解为.
例69. 已知函数,则【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵,∴
∴
.
选择【 D 】.
例70. 已知函数,则__________.
解:∵
∴.
∴
.
例71. 若,则__________.
解:设,则.
∴
.
解法二:设,则.
∵,∴,
∴,∴.
例72. 已知函数（）,则______.
解:∵
∴
∴.
例73. 已知是方程的两个根,则__________.
解:,.
设,则,解之得:.
∴或,解之得:或.
经检验,和都是原方程的解.
∴.
例74. 已知二次函数的最小值为3,则
的值为__________.
解:∵二次函数的最小值为3
∴,,解之得:,∴.
∴
.
例75. 已知.
（1）求的值;
（2）若,,且,求的值.
解:（1）∵,∴
∴;
（2）∵
∴,,∴.
∴,
∵,∴,∴.
∴.
例76. 已知为正数,,.
（1）求的值; （2）求证:
解:（1）设,则.
∵,∴,∴
;
证明:（2）由（1）可知:
,
∴.
例77. 实数满足,则下列关系正确的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵,∴.
∴,故（A）正确;
,故（B）错误;
,故（C）、（D）错误.
选择【 A 】.
例78. 已知函数,则【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）9
分析:因为,所以根据函数的解析式计算出即可.
解:∵
∴
∴
∴.
选择【 A 】.
例79. 设为定义在R上的奇函数,当≥0时,（为常数）,则等于【 】
（A） （B）1 （C） （D）
解:∵为定义在R上的奇函数
∴,∴,解之得:.
∴当≥0时,.
当时,,此时
∴当时,.
∵
∴.
选择【 C 】.
方法二:.
例80. 计算:.
解:原式
.