3.2.1函数的单调性与最大（小）值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

函数的单调性与最大（小）值知识点总结与例题讲解
一、本节主要知识点
（1）函数的单调性.
（2）函数的最值.
（3）单调函数的运算性质.
（4）复合函数的单调性.
知识点一 函数的单调性
1.增函数与减函数
名称 定义 图象表示 几何意义

增
函
数 一般地,设函数的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间D上是增函数.

函数的图象在区间D上从左到右是上升的.

减
函
数 一般地,设函数的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间D上是减函数.

函数的图象在区间D上从左到右是下降的.
增函数、减函数定义中两个自变量的值的三个特征:
（1）任意性 自变量的值必须是在区间D上任意选取的,不可以随便取两个特殊值.
（2）有序性 一般要对的大小作出规定,通常规定.
（3）同区间性 即要属于同一个单调区间.
2.单调性、单调区间和单调函数
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做函数的单调区间.
单调函数 如果函数在整个定义域上具有单调性,那么就称函数为单调函数.
对函数单调性和单调区间的理解:
（1）区间D必为函数定义域I的子集,即.所以单调性是函数的局部性质.
（2）区间D可以是整个定义域,此时函数为单调函数.
如函数在整个定义域上是增函数,函数在整个定义域上是减函数.
（3）区间D可以是定义域的真子集.
如函数在整个定义域上没有单调性,但在区间上是减函数,在区间上是增函数.
（4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调.
如函数在区间和上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）.
（5）不是所有的函数都具有单调性.
如狄利克雷函数,它的定义域是R,但不具有单调性.
（6）若函数在区间D上为增函数,则称区间D为函数的增区间;若函数在区间D上为减函数,则称区间D为函数的减区间.
正确书写单调区间
（1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.
如函数在区间和上都是减函数,但不能认为函数的减区间为,其单调减区间在书写时应该写成“和”或“,”.
（2）函数的单调性是对某个区间而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性.因此在书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求,可以包括区间端点,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括.
单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
（2）函数在区间上是减函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
3.常见函数的单调性
确定函数的单调性,有一种方法叫做直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质判断单调性.
函数 单调性
一次函数 当时,在R上单调递增;
当时,在R上单调递减.
反比例函数 当时,在和上单调递减;
当时,在和上单调递增.

二次函数 当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
说明:
（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R上的单调函数（单调增函数或顶点减函数）.
（2）在确定二次函数的单调性时,常把二次函数化为顶点式,所以:
①当时,在上为减函数,在上为增函数;
②当时,在上为增函数,在上为减函数.
例1. 若函数的定义域为,且满足,则函数在上【 】
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）先增后减 （D）单调性不能确定
解:函数单调性的定义强调了自变量的值的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系,不能作为判断函数单调性的依据.
选择【 D 】.
提示:（1）判断函数的单调性时,不能根据的两个特殊值,对函数的单调性进行判断;
（2）若要说明函数在某个区间上不是增函数（减函数）时,只需在该区间上找到两个自变量的值,证明当时,≥（≤）成立即可.
例2. 下列说法中正确的个数为:
①定义在上的函数,如果有无穷多个,当时,有,那么在上为增函数;
②如果函数在区间上为减函数,在区间上也为减函数,那么在区间上就一定是减函数;
③对任意的,且,当时,在上是减函数;
④对任意的,且,当时, 在上是增函数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解: ①不正确,函数单调性的定义强调了的任意性,“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”;
②不正确,一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.以反比例函数为例,函数在区间和上都是减函数,但不能认为函数的减区间为,其单调减区间在书写时应该写成“和”或“,”.
③正确, 因为,等价于或,所以或,即在上是减函数;
④正确,同③.
故正确的结论有两个.选择【 B 】.
例3. 下列四个函数中,在上为增函数的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:对于函数,因为,所以其图象在R上从左到右是下降的,为R上的单调减函数,在上肯定也是减函数;
对于函数,在上为减函数,在上为增函数;
对于函数,因为,所以其图象在R上从左到右是上升的,为R上的增函数,在上肯定也是增函数;
对于函数,在上为减函数.
综上,选择【 C 】.
注意:
（1）对于一次函数,当时,在R上单调递增;当时,在R上单调递减.
（2）对于反比例函数,当时,在和上单调递减;当时,在和上单调递增.
（3）在确定二次函数的单调性时,常把二次函数化为顶点式,当时,在上为减函数,在上为增函数,当时,在上为增函数,在上为减函数.
应熟练掌握以上常见函数的单调性.
4.定义法判断和证明函数的单调性
用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论.
（1）取值 设是给定区间上的任意两个值,且;
（2）作差 计算;
（3）变形 对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;
（4）判号 即判断的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论;
（5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性.
在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.
例4. 讨论函数在上的单调性.
分析:对于一些简单的具体函数,常用定义法确定函数的单调性.定义法分为取值、作差、变形、判号和定论五步.
解:任取,且,则有:

∵,且
∴
∴,即,∴
∴函数函数在上为增函数.
例5. 求函数的单调区间.
解:任取,且,则有:

∵,且
∴,对的符号的判断,分为两种情况:
①当时,,∴
∴,即
∴函数在上为减函数;
②当时,,∴
∴,即
∴函数在上为增函数.
综上所述,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
注意:（1）变形后若结果中的某一项的符号不能确定,则应进行分类讨论.
（2）对于的符号的判断,可取,由得到临界数.
5. 对勾函数及其单调性
形如（,且为常数）的函数,称为对勾函数.
对勾函数（,且为常数）在和上为增函数,在和上为减函数.
对勾函数有两条渐近线,一条是轴（,图象无限接近于轴,但不相交）,另一条是直线（当趋近于无穷大时,趋近于0,趋近于,因为,所以）.
对勾函数（,且为常数）的图象如下图所示.
如例4中的函数和例5中的函数都是对勾函数.
例6. 讨论函数在上的单调性,其中为非零常数.
分析:本题函数解析式中含有参数,若变形后结果的符号不能确定,则需要对的符号进行讨论.
解:任取,且,则有:

∵,且
∴
∵为非零常数,∴分为两种情况:
①当时,,∴
∴在上是增函数;
②当时,,∴
∴在上是减函数.
6. 单调函数的运算性质
利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.
若函数与在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.
（4）若≥0,则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值,则当时,与具有相反的单调性;当时,与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:



增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
7. 复合函数的单调性
对于复合函数,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:


增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
确定复合函数单调性的步骤:
（1）求出复合函数的定义域;
（2）分解复合函数为几个基本初等函数;
（3）判断每一个分解函数的单调性;
（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.
例7. 求函数的单调区间.
分析:在确定函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则.
解:由题意可知:≥0,解之得:≤≤2.
∴函数的定义域为.
设,
∴,其单调增区间为,单调减区间为
∴函数的单调增区间是,单调减区间是.
例8. 已知函数在定义域上单调递减,求函数的递减区间.
分析:判断复合函数的单调性时,要注意在定义域内进行.
解:∵函数的定义域为
∴≥0,解之得:≤≤1
∴的定义域为.
令,则
的单调递增区间为,单调递减区间为
∴函数的递减区间为.
★例8. 已知函数,,试求的单调区间.
分析:求复合函数的单调区间的方法是“同增异减”.
函数可以看成是由与复合而成的.
解:令,则.
在上单调递减,在上单调递增
由≥1得:≤或≥2;由≤1得:≤≤2
函数在上单调递增,在上单调递减
∴函数的单调递增区间为和;单调递减区间为和.
例9. 函数的单调递增区间为__________.
分析:先求出函数的定义域,在其定义域内确定单调递增区间.
解:由题意可知:,解之得:且
∴函数的定义域为.
函数是由函数和函数复合而成的.
函数在和上单调递减
函数在上单调递减,在上单调递增
∴函数的单调递增区间为和.
注意:若函数的定义域内不包含某端点,则该端点必须表示为开区间.
例10. 已知函数在R上是减函数,则的单调减区间是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:本题涉及到绝对值函数,其图象如下图所示.把函数的图象向右平移3个单位长度,即可得到函数的图象.
由图象可知,函数在上为减函数,在上为增函数.
雅慧,你要掌握绝对值函数图象的特征.
解:函数可以看成是由函数和函数复合而成的.
由题意可知,函数在R上为减函数.
函数的单调增区间为
∴由复合函数的单调性可知,函数的单调减区间为.选【 B 】.
8.抽象函数的单调性
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
注意
①若给出的是“和型”抽象函数,判断符号时要变形为:
或
;
②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为:
或
.
例11. 已知函数对于任意的R,总有,且当时,.
求证:在R上为减函数.
分析:本题为“和型”抽象函数问题.注意到条件“当时,”,若设,则,所以.这样就充分利用了题目所给的条件.
证明:任取R,且,则有
∵当时,
∴,∴
∴
∴在R上为减函数.
注:本题也可以这样变形:
∴
例12. 已知函数对于任意的R,都有,并且当时,.
求证:是R上的增函数.
证明:任取R,且,则有
∵当时,
∴,
∴

∴
∴是R上的增函数.
例13. 设是定义在R上的函数,对R,恒有,（）,且当时,.
（1）求证;
（2）求证R时,恒有;
（3）求证在R上是减函数.
分析:（1）通过赋值求;（2）通过证明;（3）利用单调性的定义证明函数的单调性.
（1）证明:令,则有
∴
∵
∴;
（2）令,则
∵当时,
∴
∵
∴
综上,R时,恒有;
（3）任取R,且,则有
∴
∴

∵R时,恒有,
∴
∴
∴
∴在R上是减函数.
例14. 已知定义在上的函数对任意,恒有,且当时,,判断函数在上的单调性.
分析:本题为“积型”抽象函数问题.注意到条件“当时,”,任取,且,则,所以.这样就充分利用了题目所给的条件.
解:任取,且,则有
∵当时,
∴.
∴
∴
∴函数在上单调递减.
例15. 定义在上的函数,满足（）,且当时,.
（1）求的值;
（2）求证:;
（3）求证:在上是增函数;
（4）若,解不等式;
（5）比较与的大小.
（1）解:令,则由题意可知:
∴;
（2）证明:∵（）
∴
∴;
证法二:由（1）可知:
∴
∴
∴.
（3）证明:任取,且,则有
∵当时,
∴.
∴
∴
∴函数在上是增函数;
（4）解:∵ （利用函数的单调性解不等式）
∴
∵
∴
∵函数在上是增函数
∴,解之得:
∴不等式的解集为;
解法二:∵
∴
∴
∵函数在上是增函数
∴,解之得:
∴不等式的解集为.
（5）
∵≥0（这里在作差比较与的大小）
当且仅当时取等号.
∴≥
∵函数在上是增函数
∴≥.
例16. 已知函数的定义域为R,且,对任意R,都有,当时,.
（1）求的值;
（2）求证在定义域R上是增函数.
分析:本题第（2）问具有较大的难度,前面提到判断抽象函数的单调性时,要凑定义或凑已知,即要充分利用题目所给的条件.条件“当时,”不好利用,若设R,且,则,∴,.
（1）解:∵,∴
∴
∴;
（1）证明:任取R,且,则有
∵当时,,∴,∴
∴

∴
∴在定义域R上是增函数.
9. 图象法确定函数的单调性（适用于比较容易画出图象的函数）
一般通过已知条件作出函数图象的草图,若函数的图象在某个区间从左到右上升,则函数在这个区间上是增函数;若函数的图象在某个区间上从左到右下降,则函数在这个区间上是减函数.
虽说是画出函数图象的草图,但还是要注意画图的准确性,如正确画出函数图象上的一些关键点.
例17. 已知函数.
（1）在坐标系内画出函数的大致图象;
（2）指出函数的单调递减区间.
分析:函数为含有绝对值的函数,先转化为分段函数的形式,再分段作图.
解:（1）,其大致图象如下图所示;
（2）由图象可知,函数的单调递减区间为.
当然了,这是用几何画板软件绘制的图象,手画草图如图所示.
例18. 画出函数的图象,并指出函数的单调区间.
解:,其图象如下页图所示.
由图象可知,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是和.

例19. 求函数的单调区间.
分析:用图象法确定函数的单调区间.由函数图象的翻折变换:要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方即可
解:先作出函数的图象,然后保留其在轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方,即可得到函数的图象,如下图所示.
由图象可知,函数的单调递增区间是和;单调递减区间是和.
例20. 求函数的单调区间.
解:,其图象如图所示.
由图象可知,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
10. 性质法确定函数的单调性
利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.
与的和与差的单调性（相同区间上）:



增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
例21. 求函数的单调区间.
解:
∵函数与函数在上都是减函数
∴函数在上是减函数.
∴函数的单调递减区间为,无增区间.
例22. 求函数的单调区间.
解:函数的定义域为.
∵函数与函数在和上均为增函数
∴函数在和上是增函数
∴函数的单调递增区间为和,无减区间.
11. 判断函数单调性的方法总结
判断或证明函数的单调性的方法有:
（1）定义法;
（2）直接法;
（3）图象法;
（4）性质法.
判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
注意
①若给出的是“和型”抽象函数,判断符号时要变形为:
或
;
②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为:
或
.
12.一道有代表性的判断函数单调性的题目
例23. 求函数的单调区间.
分析:先确定函数的定义域,记住“定义域优先”的原则.
解法一:函数的定义域为.
任取,且,则有:
.
∵
∴
∴
∴
∴函数在上为减函数,即函数的单调递减区间为;
同理可证函数在上为减函数.
综上所述,函数的单调递减区间为和.
解法二:（利用单调函数的运算性质）
,函数的定义域为
∵,∴
∴函数在和上为减函数
∴函数在和上为减函数
即函数的单调递减区间为和.
注意:本题中函数和函数在相同的单调区间和上具有相同的单调性.
例24. 已知.
（1）若,试证明在上单调递增;
（2）若且在内单调递减,求的取值范围.
解:（1）当时
,函数的定义域为.
∵函数在上单调递增
∴函数在上单调递增;
（2）
∵,∴函数在和上为减函数
∴函数在和上单调递减
∵在内单调递减
∴≤1,即的取值范围为.
知识点二 函数的最值
1.函数的最大（小）值的定义
名称 定义 几何意义
函数
的最
大值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:
（1）对于任意的,都有≤M;
（2）存在,使得.
那么,我们称M是函数的最大值.
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.
函数
的最
小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足:
（1）对于任意的,都有≥;
（2）存在,使得.
那么,我们称是函数的最小值.
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.
2.对最值的理解
（1）最值指的是函数值,即存在一个自变量,使得等于最值;
（2）对于定义域内的任意一个,都有≤或≥.“任意”两个字不可以省略;
（3）使函数取得最值的自变量的值可能不止一个;
（4）函数的最值是函数值域的元素.反映的是函数的整体性质（定义域内）,具有非常明显的几何意义;
（5）函数的最大值记作,最小值记作.
3.函数的最值和值域的关系
（1）联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域,而函数的单调性反映的却是函数的局部性质.
（2）区别:
①函数的值域一定存在,但函数的最值不一定存在;
（另外,在定义域上,函数可能既没有最大值,也没有最小值;可能有最大值,但没有最小值;可能有最小值,但没有最大值）
②函数的最值若存在,则最值是值域的元素;
③若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.
由以上函数的最值和值域的关系,我们可以可以函数的值域来确定函数的最值.
3.求函数最值的常用方法
（1）单调性法;
（2）图象法.
4.利用单调性法求最值的结论
（1）如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数在区间上有最大值.如下页图所示;
（2）如果函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,那么函数在区间上有最小值.如下页图所示.

知识点三 二次函数的最值问题
求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一闭区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.
求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况:
（1）对称轴在区间的左侧
若,则在区间上是增函数,最大值为,最小值为;
（2）对称轴在区间内
若≤≤,则的最小值为,最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）;
即最小值为,最大值为.
（3）对称轴在区间的右侧
若,则在区间上是减函数,最大值为,最小值为.
注意:当抛物线的对称轴在区间上,即≤≤时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即,函数最大值的确定需要分为两种情况:
区间的中点为（由中点坐标公式得到）.
①当≤≤时（即右端点距离对称轴较远）,函数的最大值为;
②当≤时（即左端点距离对称轴较远）,函数的最大值为.
综上所述,二次函数的最大值为.
二次函数的最值的图象说明


常见的二次函数最值问题类型
类型1 定轴定区间
例25. 已知函数,当自变量在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
（1）R; （2）; （3）
分析:这是定轴定区间上的最值问题,应结合抛物线的开口方向和对称轴的位置进行解答,在必要时可画出函数图象的简图来辅助解答.
对于二次函数,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
解:
（1）当R时,函数的最小值为,无最大值;
（2）当时,对称轴在区间内,且,所以函数在时取得最大值,最大值为;在时取得最小值,最小值为;
（3）当时,函数在区间上为减函数,所以,
.
类型二 动轴定区间
例26. 已知函数,,求函数的最小值.
分析:本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题.
解:,其图象的开口方向向上,对称轴为直线.
当时,函数在上是增函数,所以;
当≤≤1时,;
当时,函数在上是减函数,所以.
综上所述,函数的最小值为.
例27. 求函数在区间上的最大值和最小值.
解:,其图象的开口方向向上,对称轴为直线.
（1）当时,函数在区间上是增函数,所以,
;
（2）当0≤≤2时,:
①若0≤≤,则;
②若1＜≤2,则.
（3）当时,函数在区间上是减函数,所以,
.
综上所述,,.
类型三 定轴动区间
例28. 求函数在区间上的最小值.
解:,其开口方向向上,对称轴为直线.
当（此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数在区间上为增函数,所以;
当≤1≤,即0≤≤1时,;
当,即时,函数在上为减函数,所以.
综上所述,.
例29. 若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
分析:若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.
解:,其图象开口向下,对称轴为直线.
当时,;当时,.
∵函数的定义域为,值域为
∴≤≤4,即实数的取值范围是.选择【 D 】.
类型四 动轴动区间
例30. 求函数在上的最大值.
分析:本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.
解:,其图象开口向下,对称轴为直线.
由题意可知:.（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示）
当,即时,与矛盾,舍去;
当≤,即≥0时,;
当,即时,函数在区间上是增函数,所以.
综上所述,.
例31. 已知函数在区间上有最大值4,求实数的值.
分析:本题未指明函数是二次函数,所以要对是否等于0展开讨论.二次函数的对称轴为直线,对称轴在区间的左侧,但抛物线的开口方向不确定,取得最大值的条件也就不确定,所以还要对的符号进行讨论.
解:当时,,不符合题意,舍去;
当时,函数为二次函数,其对称轴为直线.
∵函数在上有最大值4
∴分为两种情况:
①当时,函数在区间上为增函数
∴,解之得:;
②当时,函数在区间上为减函数
∴,解之得:.
综上所述,实数的值为或.
知识点四 求函数最值的方法
求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.
（2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围.
（3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响.
利用函数的单调性求最值
例32. 求函数的最小值.
解:由题意可知函数的定义域为.
任取,且,则有:
∵,且 （上面的变形用到了分子有理化）
∴
当时,,∴
∴,即
∴函数在是减函数
∴函数在的最小值为.
当时,,∴
∴,即
∴函数在是增函数
∴函数在上的最小值为.
综上所述,函数的最小值为2.
解法二:
由题意可知函数的定义域为.
设,则
∴（）（这就是前面讲的对勾函数）
∵函数在上为减函数,在上为增函数
∴函数在（此时）时取得最小值.
即函数的最小值为2.
例33. 函数的最小值为_________.
解法一:（单调性法）由题意可知函数的定义域为.
∵函数与函数在上均为增函数
∴函数在上是增函数
∴.
即函数的最小值为2.
解法二:（换元法）设,则≥0
∴
∴
∴函数在≥0时为增函数,∴
∴函数的最小值为2.
例34. 已知函数,且,.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数在上的值域.
解:（1）∵,∴,整理得:
解之得:.
∴函数的解析式为;
（2）
∵函数与函数在上均为增函数
∴函数在上为增函数
∴,
∴函数在上的值域为.
换元法求函数的最值
例35. 已知二次函数满足,,求函数的最小值.
分析:本题已知函数为二次函数,先求出其解析式.
解:由题意设函数的解析式为
∵,∴,∴
∵
∴
整理得:
∴,解之得:
∴函数的解析式为.
设,则≥1
∴
∵函数的图象开口向上,对称轴为直线
∴函数在≥1时为增函数
∴,即函数的最小值为5.
图象法求函数的最值
例36. 用表示两个数中的较小者,设（≥0）,则函数的最大值为_________.
解:在同一平面直角坐标系中画出函数（≥0）和（≥0）的图象如图所示,图象的交点坐标为.
由题意可知,,所以函数的图象为图中的实线部分.
∴函数的最大值为6,即图中最高点的纵坐标.
例37. 已知,则函数的最小值为_________.
分析:对于任意画出图象的函数,借助于图象研究其单调性和最值,既形象又直观.
解:在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象如图所示.
解方程得:,所以函数与的图象有两个交点:和.
由已知条件可知,函数的图象为图中的实线部分,所以函数的最小值为1.
知识点五 函数单调性的应用总结
（1）利用函数的单调性求参数的取值范围;
（2）利用函数的单调性比较大小;
（3）利用函数的单调性解不等式;
（4）利用函数的单调性求函数的最值.
利用函数的单调性求参数的取值范围
例38. 若函数在R上为增函数,求实数的取值范围.
分析:要使分段函数在R上为增函数,需要满足在每一段上都是增函数,且从左到右每一段的最大值都小于或等于后一段的最小值,即每一段都单调且转折点不反超.
解:要使分段函数在R上为增函数,必须使函数在上是增函数;函数在上是增函数,且≤.
∴,解之得:1≤≤2.
∴实数的取值范围是.
总结 解决分段函数的单调性问题时,一般要从两个方面考虑:
（1）分段函数的每一段上具有相同的单调性,由此列出相关式子;
（2）要考虑端点处的衔接情况:从左到右每一段的最大值都小于或等于后一段的最小值.由此列出另一相关式子.
例39. 若函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是__________.
解:∵函数与上均为增函数
∴为使函数在上为增函数,只需≤即可,解之得:≥4.
∴实数的取值范围是.
例40. 已知函数是上的减函数,则实数的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵函数是上的减函数
∴函数在上是减函数,函数在上是减函数,且≥.
∴,解之得:≤2.
∴实数的取值范围是.选择【 D 】.
例41. 若,且,则实数的取值范围是__________.
分析:本题需要先判断分段函数的单调性,然后利用函数的单调性解不等式.
解:∵函数在上是减函数,函数在上是减函数,且,,满足≥
∴函数在R上为减函数.
∵
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
注意:要学会判断分段函数的单调性.
例42. 若函数为R上的减函数,则实数的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵函数为R上的减函数
∴函数在上为减函数,函数在上是减函数,且≥.
∴,解之得:4≤≤6.
∴实数的取值范围是.选择【 C 】.
例43. 已知函数是R上的增函数,则实数的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵函数是R上的增函数
∴函数在上是增函数,函数在上是增函数,且≤.
∴,解之得:≤≤.
∴实数的取值范围是.选择【 B 】.
利用函数的单调性比较大小
例44. 已知函数对任意的实数都有,试比较,,的大小.
结论:若函数满足,则函数的图象关于直线对称,即函数的图象的对称轴为直线.
解:由题意可知函数的图象关于直线对称
∴函数在上是增函数,
∴
∴.
例45. 若函数的定义域为R,且在上是减函数,则下列不等式成立的是【 】
（A） （B）≥
（C） （D）≤
分析:本题的本质是在已知函数单调性的前提下比较与的大小,我们可以使用配方法或作差比较法.
解:≥.
∵函数在上是减函数
∴≥.选择【 B 】.
例46. 已知是定义在上的增函数,对任意实数,若,则下列不等式成立的是【 】
（A）
（B）
（C）
（D）
解:∵
∴
∵是定义在上的增函数
∴ ①, ②.
①+②得:.选择【 A 】.
例47. 已知函数,若,则,,的大小关系是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:函数的定义域为,在区间上为减函数
∵
∴
∴,同理:
∴.选择【 C 】.
利用函数的单调性解不等式
在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将符号“”脱掉,使抽象不等式转化为具体的不等式求解,但要特别注意函数的定义域.
例48. 已知是定义在区间上的增函数,且,求的取值范围.
解:由题意可知:,解之得:≤≤2. ①
∵是定义在区间上的增函数,且
∴,解之得:. ②
由①②得:≤.
∴的取值范围是.
例49. 已知定义在上的函数满足,,若,则实数的取值范围为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵定义在上的函数满足,
∴函数在上是增函数
∴,解之得:0≤1.
∴实数的取值范围为.选择【 C 】.
例50. 设函数,若,则实数的取值范围是__________.
解:∵函数在上为增函数,函数在上为增函数,且,,满足≥
∴函数在R上为增函数.
∵
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
例51. 若,且,则实数的取值范围是__________.
解:∵函数在上为减函数,函数在上为减函数,且,,满足≥
∴函数在R上为减函数.∵
∴,解之得:,∴实数的取值范围是.
例52. 设是定义在R上的增函数,且,,则不等式的解集为__________.
解:∵,
∴即
∵是定义在R上的增函数
∴,解之得:.
∴不等式的解集为.
例53. 已知是定义在R上的增函数,且满足,.
（1）求
（2）若,求的取值范围.
解:（1）令,则
∴,∴
令,则;
（2）∵
∴
∵是定义在R上的增函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是.
例54. 若函数是定义在R上的增函数,且对任意R,满足,已知
（1）解不等式;
（2）若,求的解析式.
解:（1）∵
∴
∵,且
∴,.
∵是定义在R上的增函数
∴,解之得:.
∴不等式的解集为;
（2）令,则
∴
∵,∴
∵是定义在R上的增函数
∴
∴的解析式为.
例55. 定义在R上的函数,,当时,,且对于任意的R,满足.
（1）证明:;
（2）证明:对任意的R,恒有;
（3）证明:是R上的增函数;
（4）若,求的取值范围.
（1）证明:令,则
∵,∴;
对（2）问的分析:根据已知条件“当时,”和第（1）问的结果,要证明对任意的R,恒有,只需证明当时,即可.
（2）证明:当时,则
∵当时,,∴
令,则有
∴
综上所述,对任意的R,恒有;
（3）证明:任取R,且,则
∵当时,,∴
∴

∵,
∴
∴是R上的增函数;
（4）解:∵
∴,∴
∵是R上的增函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是.
例56. 已知是定义在上的增函数,且.
（1）求的值;
（2）若,解不等式.
解:（1）令,则;
（2）∵
∴,
∵
∴
∵是定义在上的增函数
∴,解之得:.
∴原不等式的解集为.
例57. 设是定义在上的单调增函数,且,.
（1）求;
（2）若≤2,求的取值范围.
解:（1）令,则,∴;
（2）∵,∴
∵≤2,∴≤
∵是定义在上的单调增函数
∴,解之得:≤9.
∴的取值范围是.
例58. 已知函数（是常数）,且.
（1）求的值;
（2）当时,判断的单调性并证明;
（3）若不等式成立,求实数的取值范围.
解:（1）∵
∴,整理得:,解之得:;
∴（这里注意,函数为对勾函数）.
（2）当时,是增函数.
理由如下:任取,且,则

∵,且
∴
∴
∴函数在上是增函数;
（3）∵≥1,≥3
∴
由（2）可知,函数在上是增函数
∵
∴,解之得:或.
∴实数的取值范围是.
知识点六 函数恒成立问题
最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型:
（1）二次函数在R上的恒成立问题;
（2）二次函数在给定区间上的恒成立问题.
对于二次函数:
①若≥0在R上恒成立,则;
②若≤0在R上恒成立,则.
函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法
函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题:
①≤恒成立≤;
②≥恒成立≥.
在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
例59. 对于上的任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为__________.
解:（分离参数法）∵,
∴
设,则只需即可.
∵函数在上单调递增,在上单调递减
∴函数,∴
∴实数的取值范围为.
注意:本题还可以用以下的方法解决:
解:设
这样,就把问题转化为了在上函数的值恒大于0的问题,即恒成立,只需即可.
函数的开口向上,对称轴为直线
①当即时,函数在上为增函数
∴
由得:.
∴;
②当≥1,即≤时,
解不等式得:.
∴≤.
综上所述,实数的取值范围是.
由以上两种解法不难看出,用分离参数法解决问题要简单易行的多,避免了复杂的讨论.
例60. 对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:∵,∴
对任意,不等式恒成立,即时,恒成立.
设,只需即可.
∵函数在上为增函数
∴,∴
∴实数的取值范围是.
例61. 已知函数.
（1）若≥0对一切实数恒成立,求实数的取值范围;
（2）求在区间上的最小值的表达式.
分析:（1）这是二次函数在R上恒成立的问题;（2）由函数的解析式和区间条件可知,这是一个定轴动区间的问题,注意分类讨论.
解:（1）∵≥0对一切实数恒成立
∴≤0,解之得:≥
∴实数的取值范围是;
（2）函数的开口向上,对称轴为直线.
当时,函数在上为减函数,∴;
当≥时,.
综上所述,.
例62. 已知函数,.
（1）当时,求函数的最小值;
（2）若对任意,恒成立,试求实数的取值范围.
解:（1）当时,.
任取,且,则

∵,且,∴
∴
∴函数在上为增函数
∴;
（2）∵对任意,恒成立
∴,
∴恒成立,设,只需即可.
∵函数在上为减函数
∴,∴.
∴实数的取值范围是.
解法二:（2）∵对任意,恒成立
∴,恒成立
设,只需即可.
∵函数在上是增函数
∴,∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
注意:第（2）问的对称轴是确定的,所以不用分离参数法也比较简单.
例63. 已知二次函数在区间上有最大值4,最小值0.
（1）求函数的解析式;
（2）设,若≤0在时恒成立,求的取值范围.
解:（1）函数的开口方向向上,对称轴为直线.
∵函数在区间上有最大值4,最小值0
∴,
解方程组得:
∴函数的解析式为;
（2）∵
∴
∵≤0在时恒成立
∴≥,≥,≥恒成立
令,则,设
只需≥即可.
∵函数在时的最大值为
∴≥33
∴的取值范围是.
例64. 已知函数,.
（1）证明:函数是减函数;
（2）若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
分析:第（1）问可以用定义法证明函数的单调性,另外根据函数的结构特点也可以用单调函数的性质证明其单调性.
（1）证明:（定义法）任取,且,则

∵,且,∴
∴
∴函数在上是减函数;
（性质法）:∵函数与函数在区间上都是减函数
∴函数在区间上是减函数.
（2）∵不等式对恒成立
∴对恒成立,即恒成立,只需即可.
由（1）可知,函数在上是减函数
∴,∴,∴实数的取值范围是.
例65. 已知函数是定义在上的函数.
（1）用定义法证明函数的单调性;
（2）若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）任取,且,则

∵,且,∴
∴
∴函数在上是减函数;
（2）令,则,解之得:,符合题意.
∵不等式恒成立
∴恒成立
∵在上是减函数
∴,恒成立
∵当时,
∴≥0,即实数的取值范围是.
★例66. 已知函数,.
（1）判断函数的单调性,并证明;
（2）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
（3）若不等式在上有解,求实数的取值范围.
解:（1）函数在上为增函数.
理由如下:
任取,且,则
∵,且,∴
∴
∴函数在上为增函数;
（2）∵不等式在上恒成立
∴
∵函数在上为增函数
∴,∴
∴实数的取值范围是;
★（3）∵不等式在上有解
∴
∵函数在上为增函数
∴,∴.
∴实数的取值范围是.
最后,本节有一个易混点:对单调区间和在区间上单调这两个概念理解错误.
函数单调性的判断与证明例题讲解
知识准备
一 常见函数的单调性
在确定函数的单调性时,有一种方法是直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质来判断函数的单调性.
下表为常见函数的单调性及其单调区间.
函数 单调性
一次函数 当时,在R上单调递增;
当时,在R上单调递减.
反比例函数 当时,在和上单调递减;
当时,在和上单调递增.

二次函数
当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
补充说明:
（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R上的单调函数（单调性由自变量的系数的符号决定）.
（2）在确定二次函数的单调性和单调区间时,常把二次函数的解析式化为顶点式,即化为的形式,这样:
①当时,函数在区间上为减函数,在区间上为增函数;
②当时,函数在区间上为增函数,在区间上为减函数.
二 用定义法证明和判断函数单调性的一般步骤
共分为五步:取值、作差、变形、判号和定论.
（1）取值 设是给定区间上的任意两个值,且;
（2）作差 计算;
（3）变形 对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;
（4）判号 即判断的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论;
（5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性.
在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.
特别说明 在用定义法判断和证明函数的单调性时,一定要遵循“定义域优先”的原则.
单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
（2）函数在区间上是减函数:
任取,且,都有;
任取,且,;
任取,且,;
任取,且,.
三 单调函数的运算性质
利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.
若函数与在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.
（4）若≥0,则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值,则当时,与具有相反的单调性;当时,与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:



增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
上面可以形象地记为:
（1）↗↗↗;
（2）↘↘↘;
（3）↗﹣↘=↗;
（4）↘﹣↗=↘.
复合函数的单调性
对于复合函数,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:


增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
确定复合函数单调性的步骤:
（1）求出复合函数的定义域;
（2）分解复合函数为几个基本初等函数;
（3）判断每一个分解函数的单调性;
（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.
四 对勾函数及其单调性
形如（,且为常数）的函数,称为对勾函数.
对勾函数（,且为常数）在和上为增函数,在和上为减函数.
对勾函数有两条渐近线,一条是轴（,图象无限接近于轴,但不相交）,另一条是直线（当趋近于无穷大时,趋近于0,趋近于,因为,所以）.
对勾函数（,且为常数）的图象如下图所示.

例1.证明函数在R上是增函数.
证明:任取R,且,则有
∵R,且,∴
∵
∴,∴.
∴函数在R上是增函数.
点评 事实上,函数与函数在R上均为增函数,根据函数单调性的运算性质,函数在R上也是增函数.
函数的图象如下图所示.
例2.利用函数单调性的定义,证明函数在区间上是增函数.
证明:任取,且,则有
.
∵,且
∴
∴,∴.
∴函数在区间上是增函数.
点评 函数的图象如下图所示.
例3.讨论函数（）的单调性,并请作出当时函数的图象.
解:由题意可知,函数的定义域为.
任取,且,则有
∵,且,∴.
当时,,此时.
∴函数在上为减函数;
当时,,此时,.
∴函数在上为增函数.
同理可证:函数在为减函数,在上为增函数.
综上所述,函数在和上为减函数,在和上为增函数.
当时,,其图象如下图所示.
点评 （1）本题实为探究对勾函数的单调性;
（2）因为函数在上为减函数,在上为增函数,所以函数在上存在最小值,此时,最小值为;
（3）因为函数在上为减函数,在上为增函数,所以函数在上存在最大值,此时,最大值为;
（4）由函数奇偶性的定义可知,函数（）为上的奇函数,所以其图象关于原点对称.
例4.已知函数（）,求的单调区间.
解:任取,且,则有
∵,且
∴
当时,,此时.
∴的单调递增区间为;
当时,,此时.
∴的单调递减区间为.
点评 在求函数的单调区间时,要先求出函数的定义域,然后在函数的定义域内求出函数的单调区间,否则容易出错.
函数的单调区间是函数定义域的子集.
另外,本题也可以这样来确定其单调区间:∵,∴的值恒为正数,∴函数的单调性与函数（）的单调性相反.显然函数为对勾函数,当时,其单调递减区间为,单调递增区间为,∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例5.求下列函数的单调区间:
（1）; （2）.
解:（1）.
作出其图象如下页左图所示,由图象可知,函数的单调递减区间是,单调递增区间是,在区间上不具有单调性.

（2）.
作出其图象如上图右图所示,由图象可知,函数单调递增区间是和,单调递减区间是和.
点评 对于任意作出图象的函数,可以用图象法来确定其单调性和单调区间:如果函数的图象在某个区间上从左到右是上升的,则这个区间是函数的单调递增区间;如果函数的图象在某个区间从左到右是下降的,则这个区间是函数的单调递减区间.
例6.求函数的单调区间.
解:.
由题意可知,函数的定义域为.
任取,且,则有
∵,且
∴,∴.
∴函数在区间上为减函数.
同理可得,函数在区间上也为减函数.
综上所述,函数的单调递减区间为和,无单调递增区间.
点评 本题中函数的图象可以由反比例函数的图象平移得到,其图象与反比例函数的图象形状一样,故称为双曲函数.具体平移过程是这样的:在平面直角坐标系中,先作出函数的图象（双曲线）,把的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,即可得到函数的图象.如下图所示.
由图象可以非常直观地确定函数的单调区间.另外,函数的图象有两条渐近线:直线和直线.
补充概念 双曲函数的图象及其单调性
形如（）的函数,称为双曲函数.
,若令,
,则通过分离常数把原函数化为了的形式,故它的图象可以由反比例函数（）的图象通过平移得到,其图象的形状与反比例函数的图象形状一样,为双曲线,因此称为双曲函数.
双曲函数的单调性如下:
（1）当时,函数在区间和上为减函数;
（2）当时,函数在区间和上为增函数.
例7.已知（）.
（1）若,试证在内单调递增;
（2）若,且在内单调递减,求的取值范围.
证明:（1）当时,.
∵函数在上单调递增
∴函数在内单调递增;
解:（2）.
任取,且,则有
.
∵在内单调递减,,且,
∴,,.
∴≤1,即的取值范围为.
点评 在证明第（1）问时,也可以使用定义法证明.
例8.讨论函数（）在上的单调性.
解:.
当时,,函数在上为增函数
∴当时,函数在上为增函数;
当时,函数在上为减函数
∴当时,函数在上为减函数.
解法二:（定义法）.
任取,且,则有
∵,且
∴
当,即时,;
当,即时,.
∴当时,函数在上为减函数;当时,函数在上为增函数.
点评 使用定义法判断含有参数的函数的单调性时,如果参数的取值对的符号判断有影响,则要对参数的取值进行分类讨论.
例9.已知在上是增函数,且,,判断在上是增函数还是减函数,并加以证明.
解:函数在上是减函数,理由如下:
任取,且,则有
∵在上是增函数,
∴,
∵,,
∴≤,∴.
∴.
∴函数在上是减函数.
例10.已知是奇函数,且.
（1）求实数的值;
（2）判断函数在上的单调性,并加以证明.
解:（1）∵函数为奇函数
∴,∴
∴,解之得:.
∵,∴,解之得:.
∴,;
（2）函数在上增函数,理由如下:
由（1）可知:.
任取,且,则有
.
∵,且
∴
∴
∴函数在上增函数.