3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

奇偶性知识点总结与例题讲解
本节主要知识点
（1）函数的奇偶性;
（2）函数奇偶性的判定;
（3）奇函数和偶函数的性质;
（4）函数的奇偶性的应用.
知识点一 函数的奇偶性
偶函数 奇函数

定义 一般地,如果对于函数定义域内的任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数定义域内的任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数.
定义域特征 关于原点对称
图象特征 关于轴对称 关于原点对称

函数
举例 函数.
函数.
常见函数的奇偶性
（1）二次函数和都是偶函数;
（2）正比例函数和反比例函数都是奇函数.
一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.
对函数奇偶性定义的理解
（1）注意定义中的的任意性,如果函数的定义域中存在,有,或,则函数不是偶函数或奇函数.
（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.
（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断与的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数.
即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.
（4）如果函数是偶函数,则,若,则还有;如果函数是奇函数,则,若,则还有.
（5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即,D,且D关于原点对称.
（6）偶函数的图象关于轴对称,反过来,图象关于轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.
因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性.
（7）若函数是偶函数,点在函数的图象上,则点,即也在函数的图象上,点与点关于轴对称;
若函数是奇函数,点在函数的图象上,则点,即也在函数的图象上.点与点关于原点对称.
★（8）如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即（因为这个区间关于原点对称）.
（9）特别说明,若函数是偶函数,则有.
偶函数的图象特征
若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于轴对称,则这个函数是偶函数.
下面分别是函数和函数的图象,它们都是偶函数.
奇函数的图象特征
若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数.
下面分别是函数和对勾函数的图象,它们都是奇函数.

知识点二 函数奇偶性的判定
判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法.
用定义法判断函数的奇偶性
（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.
（2）判 求出,然后根据与的关系,确定函数的奇偶性;
①若,或,或（）,则函数是偶函数;
②若,或,或（）,则函数是奇函数;
③若,则函数是非奇非偶函数.
说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数,有（或）即可.(见后面的相关例题)
图象法判断函数的奇偶性
对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数.
性质法判断函数的奇偶性
两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为:
奇奇奇; 偶偶偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定）
奇奇偶; 偶偶偶; 奇偶奇.
知识点三 奇函数和偶函数的性质
（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;
（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称;
（3）单调性的“奇同偶异”性
如果函数是奇函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数是偶函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.
函数的奇偶性与函数值及最值的关系
与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.
与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值.
复合函数的奇偶性
对于复合函数,若为偶函数,则为偶函数;若为奇函数,则的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.
题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性:
（1）; （2）; （3）.
分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.
解:（1）函数的定义域为,不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数;
（2）函数的定义域为,关于原点对称.
∵
∴该函数是奇函数;
（3）函数的定义域为R,关于原点对称.
∵
∴该函数是奇函数.
例2. 判断函数（R）的奇偶性.
分析:该函数的解析式里面含有参数,当参数影响到判断与的关系时,要对参数进行分类讨论.
解:函数的定义域为,关于原点对称.
当时,
∵
∴为偶函数;
当时,,且.
∴函数是非奇非偶函数.
综上所述,当时,函数为偶函数;当时,函数是非奇非偶函数.
例3. 已知函数,R,为实数,判断的奇偶性.
分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到与的关系,必要时要对参数进行分类讨论.
在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个,使或,则函数就不是偶函数或减函数.
解:由题意可知函数的定义域关于原点对称.
当时,.
∵
∴函数为偶函数;
当时,∵,
∴,且
∴函数为非奇非偶函数.
综上所述,当时,函数为偶函数;当时, 函数既不是奇函数,也不是偶函数.
例4. 已知函数,其中为实数,判断函数的奇偶性.
解:函数的定义域为,关于原点对称.
当时,,函数为奇函数;
当时,∵
∴,且
∴函数既不是偶函数,也不是奇函数.
综上所述,当时, 函数为奇函数;当时,函数既不是偶函数,也不是奇函数.
例5. 判断函数的奇偶性.
分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究与的关系时会比较困难,我们可以研究与的和、差、商,来进行奇偶性的判断.
解:函数的定义域为R,关于原点对称.
∵

∴
∴函数为奇函数.
解法二:函数的定义域为R,关于原点对称.
当时,;当时,
∵
∴
综上所述,函数为奇函数.
注意:的前提是.
题型二 分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有或成立,而不能只验证一段解析式.
在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.
总结 若,则,把代入上的解析式即可得到.
例6. 判断函数的奇偶性.
解:由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称.
当时,
∴;
当时,
∴.
综上所述,函数为奇函数.
例7. 函数,则【 】
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）既不是奇函数,也不是偶函数 （D）无法判断
解:由题意可知函数的定义域为,关于原点对称.
当时,
∴;
当时,
∴.
综上所述,函数是奇函数.选择【 A 】.
方法二:（图象法）,函数的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数是奇函数.
例8. 已知函数是奇函数,则_________.
解:当时,
∴
∵函数是奇函数,∴
∴
∴.
题型三 抽象函数奇偶性的判断
例9. 已知函数,R,若对于任意实数,都有.
求证:为奇函数.
分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断与的关系即可.考虑到,所以我们可以先求出的值.
证明:由题意可知的定义域关于原点对称.
令
∵对于任意实数,都有
∴
∴
令,则
∴
∴函数为奇函数.
例10. 已知函数,R,若对于任意实数,都有:
.
求证:为偶函数.
证明: 由题意可知的定义域关于原点对称.
令,则有
①
令,则有:
②
由①②得:
∴
∴函数为偶函数.
例11. 已知是定义在上的函数,且满足对任意,都有.
（1）求的值;
（2）判断的奇偶性并证明.
（1）解:令
∵对任意,都有
∴;
（2）函数为奇函数.
理由如下:由题意可知,函数的定义域关于原点对称.
令,则有
∴
∴函数为奇函数.
例12. 已知对一切都成立,且,试判断的奇偶性.
解:由题意可知函数的定义域为R,关于原点对称.
令,则有
∴,
∵,∴
令,则有
∴
∴
∴函数为偶函数.
注意本题与例10的区别及联系.
例13. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意R,都满足.
（1）求,的值;
（2）判断的奇偶性,并证明你的结论.
（1）解:令,则.
令,则,∴;
（2）函数为奇函数.
理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称.
令,则有
∴
令,则有
∴函数为奇函数.
例14. 若函数的定义域是R,且对任意R都有成立.
（1）试判断的奇偶性;
（2）若,求的值.
解:（1）∵函数的定义域是R
∴其定义域关于原点对称.
令,则有
∴
令,则有
∴
∴函数为奇函数;
（2）令,则有
∴
∵
∴,,,
∵函数为奇函数
∴
例15. 已知函数,R对任意实数都有,且当时,.
（1）试判断函数的奇偶性;
（2）求证:函数在上是增函数.
（1）解:由题意可知函数的定义域关于原点对称.
令,则,∴.
令,则,∴.
令,则
∴函数为偶函数;
（2）任取,且,则
∵当时,,∴
∴
∴
∴函数在上是增函数.
题型四 函数奇偶性的应用
（1）求函数值;
（2）求函数解析式;
（3）求参数的值或取值范围;
（4）求函数的值域或最值.
应用1 求函数值
例16.（1）已知为奇函数,,,则_________;
（2）设函数的最大值为M,最小值为,则_________.
解:（1）∵为奇函数,∴
∵,
∴
∴.
（2）
设,其定义域为R,关于原点对称.
∵
∴为奇函数
∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数
∴
∴.
重要结论
（1） 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即.
（2）若函数为奇函数,（为常数）,则.
例17. 已知,且,则【 】
（A） （B） （C） （D）10
解法一:设,易知函数为奇函数.
∴,
∵,∴,.
∴
∴.选择【 A 】.
解法二:①
②
①②得:
∵
∴.
例18. 已知,其中是偶函数,且,则【 】
（A） （B）1 （C） （D）3
解:∵是偶函数,∴.
∵,∴
∵,∴
∴.选择【 C 】.
例19. 已知,均为R上的奇函数,且在上的最大值为5,则在上的最小值为_________.
解:设,则
∵,均为R上的奇函数
∴也是R上的奇函数
∵当时,
∴
∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为
∴.
注意:本题利用结论: 若函数为奇函数,（为常数）,则.可以快速得出结果.
例20. 已知是奇函数,则_________.
分析:先求出当时,函数的解析式,然后代入求值.
解:当时,
∴
∴
∴,∴
∴
∴.
应用2 求函数解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:
（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上;
（2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;
（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式.
注意:若是R上的奇函数时,不要遗漏的情形.
例21. 已知是R上的奇函数,当时,.
（1）求的值; （2）求函数的解析式.
解:（1）∵是R上的奇函数
∴,
∴;
（2）当时,则
∴
∴.
∴函数的解析式为.
例22. 若函数是偶函数,函数是奇函数,且,求函数的解析式.
解:∵函数是偶函数,函数是奇函数
∴,
∵
∴,
解方程组得:.
∴函数的解析式为.
例23. 已知是定义在R上的偶函数,且≤0时,.
（1）求,;
（2）求函数的解析式.
解:（1）∵当≤0时,,∴.
∵是定义在R上的偶函数,∴;
（2）当时,则
∴.
∴函数的解析式为.
例24. 已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则函数在R上的解析式为____________.
结论 若奇函数在原点处有定义,则.
解:∵函数是定义在R上的奇函数∴.
∵当时,
∴当时,,
∴.
∴函数的解析式为.
例25. 函数为R上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）若≤在区间上恒成立,求的取值范围.
解:（1）∵函数为R上的奇函数
∴,∴
∵,∴,解之得:.
∴函数的解析式为;
（2）∵≤在区间上恒成立
∴≤恒成立
设,只需≤即可.
任取,且,则有
∵,且
∴
∴,∴
∴函数在上为减函数
∴
∴≤,解之得:≥1或≤.
∴实数的取值范围是.
例26. 已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,求.
解:∵函数是定义在R上的奇函数,∴.
∵当时,
∴当时,，∴.
∴.
应用3 求参数的值
例27. 已知函数为偶函数,其定义域为,则的值为_________.
结论 如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即（因为这个区间关于原点对称）.
解:∵偶函数的定义域关于原点对称
∴,解之得:.
∴
∵
∴
∴,解之得:
∴.
例28. 若函数为奇函数,则_________.
解:∵函数为奇函数
∴,
∴
展开并整理得:
∴,解之得:.
例29. 若函数为偶函数,则_________.
解:∵函数为偶函数,∴
∴
∴
∴,解之得:.
例30. 若函数为偶函数,则函数在区间上【 】
（A）先增后减 （B）先减后增
（C）单调递减 （D）单调递增
分析: 结论 对于函数：
（1）当时,它是偶函数;
（2）当时,它是奇函数.
对于本题,因为函数为偶函数,所以不难得到.
解:∵函数为偶函数
∴,
∴,解之得:
∴,其图象开口向下,对称轴为轴.
∵函数在区间单调递增.选择【 D 】.
例31. 设为常数,函数.若为偶函数,则_________.
分析:将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即可得到函数的图象.偶函数的图象关于轴对称.
结论 若函数满足,则函数的图象关于直线对称.
解法一:∵
∴
∵为偶函数
∴其图象的对称轴为轴,∴,解之得:.
解法二:,其图象的对称轴为直线.
∵为偶函数
∴,即
∴函数的图象关于直线对称.
∴.
例32. 已知是定义在上的偶函数,则_______.
解:∵偶函数的定义域关于原点对称
∴,解之得:
∴
∵,∴
∴,解之得:.
∴0.
例33. 已知函数是奇函数,则_________.
解:当时,,∴
∵函数是奇函数
∴
∴（）
∴.
例34. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）是否存在实数,使得当时,函数的值域为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
分析:,设,因为与均为偶函数,所以也是偶函数,故,得到.
解:∵函数为偶函数
∴
∴
∴,解之得:.
∴;
（2）∵
∴函数在区间上为增函数
∴,
∵函数的值域为
∴,解之得:
∵
∴不存在实数,使得当时,函数的值域为.
例35. 已知函数是R上的偶函数.
（1）求实数的值;
（2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.
解:（1）∵函数是R上的偶函数
∴,
∴,,解之得:;
（2）由（1）知:.
函数在上为增函数,理由如下:
任取,且,则有
∵,且
∴
∴
∴函数在上为增函数.
例36. 已知函数是奇函数,且,其中R.
（1）求的值;
（2）判断在上的单调性,并加以证明.
解:（1）∵,∴,∴.
∵函数为奇函数
∴,
∴,解之得:
解方程组得:;
（2）由（1）可知:（可见函数为对勾函数）
函数在上为增函数,理由如下:
任取,且,则有
∵,且
∴
∴∴
∴函数在上为增函数.
应用4 函数的奇偶性与单调性的综合
例37. 已知在定义域上是奇函数,又是减函数,若,求实数的取值范围.
解:∵
∴
∵在定义域上是奇函数
∴
∴
由题意可得:,解之得:0≤.
∴实数的取值范围是.
例38. 定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实数的取值范围.
结论:若函数为偶函数,则有.
解:∵函数是定义在上的偶函数
∴,,.
∵在上单调递减,
∴,.
由题意可得:,解之得:≤.
∴实数的取值范围是.
注意:的同解不等式为.
例39. 定义在R上的奇函数,满足,且在上单调递减,求不等式的解集.
分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
解:∵定义在R上的奇函数,满足
∴
∵函数在上单调递减
∴函数在上单调递增
∴当时,;当时,
∴不等式的解集为.
注意:对于奇函数的理解,可结合下面的图象.图中.
例40. 已知奇函数,是减函数,解不等式.
解:∵
∴
∵是奇函数
∴
∴
由题意可得:,解之得:.
∴不等式的解集为.
例41. 已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值范围是__________.
解:由题意可得的解集为
∵
∴,解之得:
∴的取值范围是.
例42. 已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,则关于的不等式的解集为【 】
（A） （B）
（C） （D）随的值的变化而变化
解:∵函数是定义在上的偶函数
∴,解之得:
∴函数的定义域为
∵,∴,∴
∵当≥0时,单调递增,≥0
∴.
由题意可得: ,解之得:≤或≤.
∴不等式的解集为.选择【 B 】.
例43. 已知是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增
∴在区间上单调递减,.
∵
∴,∴,解之得:.
∴的取值范围是.选择【 C 】.
☆例44. 已知函数的定义域为,且是奇函数.
（1）求的表达式;
（2）若在上的值域是,求值:是方程的两个根.
解:当时,
∴
∵是奇函数
∴
∴（）
∴（）;
（2）证明:由题意可知:
∵≤1
∴≤1,∴≥1
∴在上单调递减
∴,
∴是方程的两个根.
例45. 设函数对任意R都有,且当时,,.
（1）证明:为奇函数;
（2）证明:在R上是减函数;
（3）若,求的取值范围;
（4）求在上的最大值与最小值.
（1）证明:令,则,∴
令,则有
∴
∵函数的定义域为R,关于原点对称
∴函数为奇函数;
（2）证明:任取R,且,则
∵当时,,∴
∴
.
∴,∴.
∴在R上是减函数;
（3）解:由（1）可知:
令,则
∵
∴,
∵在R上是减函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是;
（4）令,则
∵在R上是减函数
∴在上的最大值为6
∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数
∴在上的最小值为.
例46. 函数对任意R都有,并且当时,.
（1）判断函数是否为奇函数;
（2）证明:在R上是增函数;
（3）解不等式.
（1）解:令,则
∴
∴函数不是奇函数;
（2）任取R,且,则
∵当时,,∴
∴
∴
∴在R上是增函数;
（3）由（1）可知:
∵
∴
∵在R上是增函数
∴,解之得:
∴不等式的解集为.
例47. 设是定义在上的减函数,且满足,
.
（1）求,,的值;
（2）若,求的取值范围.
解:（1）令,则有,∴;
令,则有;
∵
∴
∴;
（2）∵
∴
∴
∵是定义在上的减函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是.
☆例48. 设是定义在上的函数,且满足,当时,.
（1）求的值,并证明是偶函数;
（2）证明函数在上单调递减;
（3）若,≥,求的取值范围.
解:（1）令,则有,∴;
∵是定义在上的函数
∴其定义域关于原点对称.
令,则有,∴.
令,则有
∴是偶函数;
（2）证明:任取,且,则
∵当时,,∴
∴
∴.
∴函数在上单调递减;
（3）解:∵
∴令,则有
∴≥
∴≥
∵函数是偶函数
∴≥
∵函数在上单调递减;
∴,解之得:≤≤或≤≤9,且,.
∴的取值范围是.
例49. 若函数为区间上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.
解:∵函数为区间上的奇函数
∴,∴
∴
∵,∴,解之得:
∴,在区间上为减函数
∴.
例50. 已知函数.
（1）求在区间上的最小值;
（2）求的最大值.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
,其图象的开口向下,对称轴为直线.
当,即时,
∴;
当≥1,即≤时,
∴.
综上所述,;
（2）由（1）可知:.
函数的单调性与奇偶性的综合应用
例1. 设函数的定义域为R,并且满足,,当时,.
（1）求的值;
（2）判断函数的奇偶性;
（3）如果,求的取值范围.
分析:（3）,在求解与抽象函数一个的不等式时,往往是利用函数的单调性把符号“”脱掉,使抽象不等式转化为具体的不等式,此时要特别注意函数的定义域.
解:（1）令,则有
∴;
（2）令,则有
∴
∵函数的定义域为R,关于原点对称
∴函数为奇函数;
（3）令,则有
∵,∴.
任取R,且,则
∵当时,,∴
∴
∴
∴函数在R上为增函数
∵,∴
∴
∵函数在R上为增函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是.
总结 在求解与抽象函数一个的不等式时,要用到函数的单调性,从而把抽象函数的不等式转化为具体的不等式求解.若函数的单调性未知,则在解不等式前要先用定义法确定函数的单调性,注意函数的定义域和单调区间.
例2. 已知函数是定义在上的不恒为零的函数,对于任意非零实数满足,且当时,有.
（1）判断并证明函数的奇偶性;
（2）证明函数在上为增函数,并求不等式的解集.
分析:（1）,函数满足,为“和型”抽象函数,在判号时常利用条件变形为:
.
解:（1）函数为偶函数,理由如下:
∵是定义在上的函数
∴其定义域关于原点对称.
令,则有,∴
令,则有,∴
令,则有
∴
∴函数为偶函数;
（2）证明:任取,且,则
∵当时,有,∴.
∴
∴
∴函数在上为增函数.
由（1）知:
∵,∴
∴
∵函数在上为增函数
∴,解之得:.
∴不等式的解集为.
注意:根据,令,则,得到,但是不在函数的定义域内,所以不能用来求解（2）中的不等式.
例3. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,函数.
（1）求在上的解析式;
（2）求在上的值域.
结论
（1）若奇函数在原点处有定义,则.
（2）奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（一个是函数的最大值,另一个是函数的最小值）
利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:
（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上;
（2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;
（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式.
注意:若是R上的奇函数时,不要遗漏的情形.
解:（1）∵函数是定义在上的奇函数
∴,∴
∴当时,函数.
当时,
∴.
∴,.
∴;
（2）当时,,其图象的对称轴为直线
∴函数在区间上是减函数
∴,即函数在上的最大值为7.
∵奇函数的图象关于原点对称
∴
∴在上的值域为.
☆例4. 已知函数在上有定义,当且仅当时,,且对任意,都有.
证明:（1）为奇函数;（2）在上单调递减.
证明:（1）∵函数的定义域为
∴其定义域关于原点对称.
∵对任意,都有
∴令,则有,∴
令,则有
∴
∴函数为奇函数;
（2）任取,且,则有
∵,且,∴,∴
∵
∴,∴
∵当时,,∴
∴,∴
∴在上单调递减.
例5. 函数的定义域为,且满足对任意,有:
.
（1）求的值;
（2）判断的奇偶性并证明你的结论;
（3）如果,,且在上是增函数,求的取值范围.
解:（1）令,则有
∴;
（2）函数为偶函数,理由如下:
由题意可知,函数的定义域关于原点对称.
令,则有
∴
令,则有,∴
∴函数为偶函数;
（3）∵,∴,∴.
∵,∴.
∵函数为偶函数
∴
∵在上是增函数
∴,解之得:.
∵函数的定义域为
∴,
∴的取值范围是.（不要忽视函数的定义域）