4.4对数函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

对数函数及其性质知识点总结与例题讲解
本节知识点
（1）对数函数的概念;
（2）对数函数的图象及其性质;
（3）与对数函数有关的函数的定义域;
（4）与对数函数有关的函数的值域;
（5）与对数函数有关的函数的单调性及其应用;
（6）与对数函数有关的函数的奇偶性;
（7）反函数.
知识点一 对数函数的概念
一般地,函数（且）叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.
对数函数概念的理解
（1）形如;
（2）底数满足且;
（3）真数是,而不是含的表达式;
（4）函数的定义域为.
两种特殊的对数函数
特别地,以10为底的对数函数叫做常用对数函数;以无理数为底的对数函数叫做自然对数函数.
例1. 给出下列函数:
①; ②; ③; ④.
其中是对数函数的有【 】
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
解:对于①②,因为对数函数的真数只能是自变量,不能是含自变量的表达式,所以它们都不是对数函数,而是对数函数型函数;
对于③,因为对数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数,包含自变量,所以它不是对数函数.
对于④,符合对数函数的定义.
故对数函数只有一个,选择【 A 】.
例2. 下列函数中,是对数函数的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:选择【 C 】.
知识点二 对数函数的图象及其性质
一般地,对数函数（且）的图象和性质如下表所示:
底数


图象


性
质 定义域
值域 R
定点 过定点,即当时,
函数值
的正负 当时,;
当时,. 当时,;
当时,.
单调性 在上为增函数 在上为减函数
对数函数图象的三个关键点
对数函数（且）的图象经过三个关键点:,和.
利用对数函数图象的三个关键点,可以快速地作出对数函数图象的简图.
特别提醒
指数函数（且）的图象经过三个关键点:,和.根据这三个关键点,可以快速地作出指数函数图象的简图.
不难得出:在同一平面直角坐标系中,对数函数（且）图象的三个关键点与指数函数（且）图象的三个关键点关于直线对称.
底数对对数函数图象的影响
（1）对数函数的对称性
结论 函数（且）的图象与函数（且）的图象关于轴对称.
事实上,,因为函数与函数的图象关于轴对称,所以函数与函数的图象关于轴对称.
观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数,,和的图象,如图所示,体会对数函数图象的对称性.
（2）底数决定对数函数的单调性 当时,对数函数的图象从左到右是上升的,函数在上为增函数;当时,对数函数的图象从左到右是下降的,函数在上为减函数.
（3）底数的大小决定对数函数图象相对位置的高低
不论是,还是,在第一象限内,取相同的函数值时,图象所对应的对数函数的底数从左到右逐渐变大.
（1）上下比较 在直线的右侧,越大,图象越靠近轴;当时,越小,图象越靠近轴.
（2）左右比较 比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越大.
注意 若比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明 在平面直角坐标系中,对数函数的图象与直线的交点为,即交点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就越大;对数函数与直线的交点为,故在第四象限内,交点的横坐标越大（即越大）,对数函数的底数反而越小.
关于对数函数函数值正负的判断
根据对数函数的图象,当,,或,时,函数值,简记为同区间为正;当,,或,时,函数值,简记为异区间为负.即同区间为正,异区间为负.
特别地,当时,,即对数函数的图象恒过点.
例3. 函数的定义域是,则函数的值域是【 】
（A）R （B） （C） （D）
解:∵,∴函数在上为增函数
∴≤,∴≤,即≤.
∴函数的值域是.选择【 C 】.
例4. 已知（且）,则函数的图象必过定点______.
解:∵对数函数的图象恒过定点
∴令,即,则
∴函数的图象必过定点.
例5. 函数（且）的图象恒过点【 】
（A） （B） （C） （D）
解:令,则,
∴函数的图象恒过点.
选择【 C 】.
例6. （1）函数（且）的图象恒过定点【 】
（A） （B） （C） （D）
（2）已知函数（且）的图象恒过定点A,若点A也在函数的图象上,则【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解:（1）令,则,
∴函数的图象恒过定点.
选择【 D 】.
（2）令,则,,∴.
把代入得:,解之得:.
选择【 B 】.
例7. 函数（且）的图象必经过的点是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:令,则,.
∴该函数的图象必经过点.
选择【 D 】.
例8. 已知且,且,如果无论在给定的范围内取任何值时,函数与函数的图象总经过同一个定点,则实数的值为__________.
解:令,则,
∴定点的坐标为
∴函数的图象恒过点
令,则,符合题意.
∴实数的值是3.
例9. 已知函数,则函数的值域是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:设,∵,∴,即.
∴,即.
∴该函数的值域是.
选择【 B 】.
例10. 不等式的解集是__________.
分析:对数函数在其定义域内为单调函数,其单调性与底数有关.本题中,函数在内为减函数,据此可列出关于两个真数的不等式.
解:由题意可知:,解之得:.
∴该不等式的解集为.
例11. 若函数的定义域为R,则实数的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:本题考查二次函数的函数值恒大于0的问题,注意分类讨论.
函数的定义域为R的意思是不论为任何实数,总有成立,属于R上的恒成立问题.
解:设,由题意可知,在R上恒成立.
当时,,不符合题意,舍去;
当时,则有,解之得:.
∴实数的取值范围是.
选择【 C 】.
例12. 若函数（且）有最小值,则实数的取值范围是__________.
解:设,当时,,则
∴,解之得:.
∴;
当时,,由于不存在,所以此种情况不符合题意.
综上所述,实数的取值范围是.
例13. 设函数,其中.
（1）证明:是上的减函数;
（2）若,求的取值范围.
证明:（1）任取,且,则有
∵,,且,且
∴
∴,即
∴,∴.
∴是上的减函数;
证法二:设,任取,且,则有
.
∵,且,且
∴
∴
∴在上是增函数
∵
∴是上的减函数;
解:（2）∵,∴
∵∴,解之得:.∴的取值范围是.
指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数的性质的比较如下表所示:
指数函数 对数函数
一般形式 （,且） （,且）
定义域 R
值域
R

函数值 当时,若,则,
若,;
当时,若,则
,若,则. 当或时,;
当,或时,.
定点 恒过定点 恒过定点
单调性 当时,是增函数;
当时,是减函数 当时,是增函数;
当时,是减函数.

补充性质 当时,在轴右侧,越大,图象越靠近轴（底大图高）;
当时,在轴左侧,越小,图象越靠近轴（底小图高）. 当时,在直线右侧,越大,图象越靠近轴;
当时,在直线左侧, 越小,图象越靠近轴.

图象 指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称.
知识点三 与对数函数有关的函数的定义域
（1）对数函数的定义域为.
（2）形如的函数,其定义域由确定.
（3）形如的函数的定义域,必须保证每一部分都有意义.
例14. 函数的定义域是__________.
解:由题意可知:,解之得:≤1.
∴该函数的定义域为.
例15. 函数的定义域是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:,即,∴.
∴该函数的定义域为.
选择【 A 】.
例15. 函数的定义域是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:由题意可知:,解之得:.
∴该函数的定义域为.
选择【 D 】.
例16. 若函数的定义域为R,则的取值范围是【 】
（A） （B）且
（C） （D）≥2
解:由题意可知:,且.
∵函数的定义域为R
∴在R上恒成立
∴,解之得:.
∴,且.
选择【 B 】.
例17. 函数的定义域是____________.
解:由题意可知:,即,∴≤2,且.
∴该函数的定义域是.
例18. 求下列函数的定义域:
（1）;
（2）.
解:（1）由题意可知:,解之得:且.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:,且.
∴该函数的定义域为.
例19. 函数的定义域为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:由题意可知:,解之得:4≤.
∴该函数的定义域为.
选择【 B 】.
例20. （1）已知函数的定义域为,则函数的定义域为__________.
（2）已知函数的定义域为R,求的取值范围.
解:（1）∵,∴,∴.
∴函数的定义域为.
∴≤2,∴≤4,解之得:≤2.
∴函数的定义域为.
（2）∵函数的定义域为R.
∴在R上恒成立.
当时,不恒成立;
当时,则有,解之得:.
综上所述,的取值范围为.
例21. 已知函数的值域是,则函数的定义域为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵函数的值域是
∴0≤≤4,∴1≤≤16.
∴函数的定义域为.
∵函数
∴,解之得:1≤≤4.
∴函数的定义域为.
选择【 A 】.
例22. 求函数的定义域.
解:由题意可知:,解之得:且.
∴该函数的定义域为.
例23. 已知函数的定义域为,求函数的定义域.
解:∵函数的定义域为
∴0≤≤1,∴≤≤.
∴≥≥,解之得:2≤≤.
∴函数的定义域为.
例24. 函数的定义域为【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:,即,∴≤4,且.
∴该函数的定义域为.选择【 C 】.
例25. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （4）.
解:（1）由题意可知:,解之得:且.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:≥4.
∴该函数的定义域为;
（3）由题意可知:,解之得:.
∴该函数的定义域为;
（4）由题意可知:,解之得:,且.
∴该函数的定义域为.
例26. 设函数的定义域为,函数的定义域为B,则【 】
（A） （B） （C） （D）
解:由题意可知:
,
∴.
选择【 D 】.
例27. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （4）.
解:（1）由题意可知:,即,∴.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:且.
∴该函数的定义域为;
（3）由题意可知:,解之得:.
∴该函数的定义域为;
（4）由题意可知:,解之得:,且.
∴该函数的定义域为.
例28. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （4）.
解:（1）由题意可知:,,解之得:或.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:或.
∴该函数的定义域为;
（3）由题意可知:,解之得:1≤.
∴该函数的定义域为;
（4）由题意可知:,解之得:0≤2.
∴该函数的定义域为.
例29. 函数的定义域为R,则的单调递增区间是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵函数的定义域为R
∴在R上恒成立,且,.
∴,解之得:.
∴.
∴的单调递增区间即函数的单调递减区间,为,或.
选择【 A 】.
例30. 已知函数（且）.
（1）求的定义域;
（2）若,判断的单调性,并证明你的结论.
解:（1）由题意可知:,∴.
当时,解之得:;当时,解之得:.
∴当时,的定义域为,当时,的定义域为;
（2）在上为增函数,理由如下:
设,任取,且,则有
∵,
∴,∴.
∴在上为减函数
∵
∴在上为增函数.
例31. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）; （3）.
解:（1）由题意可知:,即,∴≤1.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:1≤.
∴该函数的定义域为;
（3）由题意可知:,解之得:或≥2.
∴该函数的定义域为.
知识点四 对数型函数的值域
（1）对数函数（且）的值域利用函数的单调性求解;
（2）求形如的复合函数的值域,先求出的值域,然后结合对数函数的单调性求出函数的值域;
（3）求形如的复合函数的值域,其中复合函数一般是关于的二次函数,故可以采用换元法求解,注意新元的取值范围.
例32. 求函数的值域.
分析:这里要对函数解析式进行一个小小的变形:,变形的依据是对数换底公式的性质:.
解:.
函数的定义域为.
设R,则.
∴该函数的值域为.
注意 在求函数的值域时,要先确定函数的定义域.
例33. 求下列函数的值域:
（1）,;
（2）.
解:（1）设,则,∵,∴.
∵函数在上为增函数
∴.
∴该函数的值域为;
（2）由题意可知:,即,解之得:.
∴该函数的定义域为.
设,则≤（注意是在函数的定义域内）
∵函数在内为减函数
∴,无最大值.
该函数的值域为.
例34. 求下列函数的值域:
（1）;
（2）.
解:（1）由题意可知,该函数的定义域为R.
设,则,
∴≥
∴该函数的值域为;
（2）设,则,∵,∴≤4.
∵函数在≤4时为减函数
∴≥
∴该函数的值域为.
例35. 求函数在2≤≤4时的值域.
解:设,则.
∵2≤≤4,∴≤≤,即
∵函数在上为减函数
∴,.
∴该函数的值域为.
例36. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:函数,其定义域为,值域为.
对于（A）,函数的定义域为R,值域为R;
对于（B）,函数的定义域为,值域为R;
对于（C）,函数的定义域为R,值域为;
对于（D）,函数的定义域为,值域为.
选择【 D 】.
例37. 函数的值域为R,则实数的取值范围是_________.
解:由题意可知,当时,;当≤1时,≤.
∵函数的定义域为R
∴≤,解之得:≤1.
∴实数的取值范围是.
例38. 已知函数（且）.
（1）求函数的定义域;
（2）若函数的最小值为,求实数的值.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴函数的定义域为;
（2）
设,则.
∵,∴
当时,函数有最小值为,∴,解之得:（舍去）;
当时,函数有最大值为,无最小值.
综上所述,实数的值.
例39. 函数的最小值为__________.
分析:这里要用到对数换底公式的性质:.使用换元法求该函数的最小值,但换元后要注意新元的取值范围.
解:,函数的定义域为
设R,则.
∴该函数的最小值为.
例40. 已知函数（且）在上的最大值与最小值的差为1,求的值.
分析:当对数函数的底数范围不确定时,利用对数函数的单调性时要对底数进行分类讨论.
解:当时,函数在为增函数
∴
∴,解之得:;
当时,函数在为减函数
∴
∴,解之得:.
综上所述,或.
例41. 已知函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为【 】
（A） （B） （C）2 （D）4
分析:若指数函数与对数函数的底数相同,则它们在各自定义域上的单调性相同.根据函数单调性的运算性质,可以确定本题中函数在上具有单调性,有鉴于此,在解决本题问题时不用对底数进行分类讨论,因为函数的最大值与最小值在给定闭区间的端点处取得.
解:∵函数与在具有相同的单调性
∴函数在为增函数或减函数,具有单调性
∴函数的最大值与最小值在的端点处取得.
∴,解之得:.
选择【 B 】.
例41. 已知函数的值域为R,那么实数的取值范围是__________.
解:函数的值域为函数（≥1）和函数（）的值域的并集
∵当≥1时,函数的值域为,且函数的值域为R,设函数（）的值域为A
∴
∴,解之得:≤
∴实数的取值范围是.
例42. 已知函数（）在区间上的最大值是最小值的3倍,则的值为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵
∴函数在上是减函数
∴
∴,解之得:.
选择【 C 】.
例43. 函数的值域为__________.
解:该函数的值域为R.
∵,∴
∴,即.
∴函数的值域为.
例44. 若函数（且）的值域为,则实数的取值范围为__________.
分析:根据分段函数值域的确定方法,函数的值域为函数（≤2）的值域与函数（）的值域的并集.因为函数（≤2）的值域为,所以函数（）的值域为的子集.
解:由题意可知:,解之得:≤2.
∴实数的取值范围为.
例45. 已知函数.
（1）若的定义域为R,求的取值范围;
（2）若的值域为R,求的取值范围.
分析:（1）函数的定义域为R的意思是指在R上恒成立,必要时要对二次项系数是否等于0展开讨论;
（2）设,则.因为函数的值域为R,则函数必须能取遍内的所有值,所以是函数的值域的子集.
解:（1）∵的定义域为R
∴在R上恒成立.
当时,在R上不恒成立,舍去;
当时,则有,解之得:.
∴的取值范围是;
（2）若的值域为R,则的值域应包含（即取遍全体正数）.
当时,R,满足题意;
当时,则有,解之得:≤1.
综上所述,的取值范围为.
相关训练 若函数的值域为,则的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:当时,,函数的值域为,不符合题意;
当时,设,并设其值域为A,则.
∴,解之得:≥4.
∴的取值范围是.
选择【 D 】.
例46. （1）若函数（且）的定义域和值域都是,则__________;
（2）已知函数,若的值域为R,则实数的取值范围是__________.
解:（1）设,则.
∵,∴.
当时,函数在上为增函数,∵且其值域为
∴,解之得:;
当时,函数在上为减函数
∴,无解.
综上所述,;
（2）设,值域为A.
∵的值域为R,∴.
当时,,不符合题意;
当时,则有,解之得:≥1.
综上所述,实数的取值范围是.
例47. 已知函数的值域为R,则实数的取值范围是__________.
解:设,值域为A.
∵的值域为R,∴
当时,,R,符合题意;
当时,则有,解之得:≤或≥1.
综上所述,实数的取值范围是.
例48. 若函数的值域为R,则的取值范围是________.
解:设函数的值域为A.
当≥1时,函数的值域为.
∵函数的值域为R
∴
∴,解之得:≤.
∴的取值范围是.
例49. 若函数（且）的值域是,则实数的取值范围是__________.
解:设函数的值域为A.
函数的值域为.
∵函数的值域是
∴
∴,解之得:≤.
∴实数的取值范围是.
例50. 求函数的值域.
分析:这是分段函数的值域问题,应该清楚,分段函数的值域为各段函数值域的并集.
解:当≥1时,,其值域为;
当时,,其值域为.
∴函数的值域为.
例51. 已知函数,则函数的最小值是【 】
（A）2 （B） （C） （D）1
解:.
∴当,即时,取得最小值为.
选择【 B 】.
例52. 设函数的定义域为.
（1）若,求的取值范围;
（2）求的最大值与最小值,求求出最值时对应的的值.
解:（1）∵在上单调递增
∴≤≤,即≤≤2.
∴的取值范围为;
（2）设,由（1）可知,.
∴.
∵
∴当,即时,;
当,即时,.
例53. 设函数,且.
（1）求的值;
（2）求的最小值及对应的值.
解:（1）∵,
∴,∴.
∵,∴
∴,∴.
∵
∴,解之得:;
（2）由（1）可知:.
∴
∴当,即时,取得最小值,最小值为.
例54. 已知函数,则_________,的最小值是_________.
解:∵
∴.
当≥1时,在上为减函数,在上为增函数
∴;
当时,
∴.
综上所述,的最小值是.
例55. 下列判断正确的是__________（填序号）.
①若在上为增函数,则;
②函数的值域是R;
③函数的最小值为1;
④在同一平面直角坐标系中,函数与的图象关于轴对称.
解:对于①,函数的开口向上,对称轴为直线.
∵在上为增函数
∴≤1.故①错误;
对于②,∵≥1,∴≥
∴函数的值域是.故②错误;
对于③,∵≥0,∴≥.
∴函数的最小值为1.故③正确;
对于④,∵在同一平面直角坐标系中,函数与的图象关于轴对称
∴函数与的图象关于轴对称.故④正确.
∴判断正确的是③④.
例56. 若函数有最大值1,则实数的值等于【 】
（A） （B） （C） （D）4
解:∵函数有最大值1,
∴有最大值3.
∴,解之得:.
选择【 C 】.
例57. 若函数（且）有最小值,则实数的取值范围是__________.
解:设,则,.
当时,在上为增函数
∵函数有最小值
∴,解之得:.
∴1;
当时,在上为减函数,要使函数有最小值,则需存在最大值,因为该最大值不存在,所以此种情况不符合题意.
综上所述,实数的取值范围是.
例58. 已知函数,且.
（1）求函数的表达式;
（2）求函数的值域.
解:（1）由题意可知:,解之得:
∵,∴.
∵
∴
∴
即函数的表达式为;
（2）设
∵,∴
∵函数在上为增函数
∴函数的值域为.
例59. 已知函数（）.
（1）求函数的定义域;
（2）当时,函数的值域为,且,求实数的值.
解:（1）由题意可知:,∴
∵,∴
∵,∴,∴.
∴函数的定义域为;
（2）设,∵
∴在上为增函数
∵当时,函数的值域为
∴,∴.
∵,∴
解方程组得:.
例60. 已知函数（）.问:是否存在最值?若存在,请求出它的最值.
分析:这是对数型函数的最值问题,应先求出对数型函数的定义域,再确定对数型函数的单调性,根据单调性研究函数的最值.
解:由题意可知:,即
∵,∴.
∴函数的定义域为
∵
∴
设,,其图象的开口方向向下,对称轴为直线.
当时,,不符合题意;
当1≤≤,即≥3时,,无最小值.
∴,无最小值;
当（）,即时,函数在上为减函数
∴在上既无最大值,也无最小值
∴函数当时,无最值.
综上所述,当≥3时,函数存在最大值为,无最小值;当时,函数既不存在最大值,也不存在最小值.
点评 单调函数在给定的开区间上无最大值和最小值,在给定的闭区间上既有最大值,又有最小值,且最大值（最小值）在闭区间的端点处取得.
知识点五 与对数函数有关的函数的单调性及其应用
1.对数值大小的比较
（1）同底数的利用函数的单调性;
（2）同真数的利用函数的图象;
（3）底数与真数都不同的,利用中间数0和1（介值法）.
2.解简单的对数不等式
（1）底数确定时,利用对数函数的单调性求解;
（2）当底数不确定时,注意对底数进行分类讨论.
注意 求解时注意“定义域优先”的原则,要保证每个真数都大于0.
点评 简单的对数不等式经过适当的变形一般都可化为的形式,当时,不等式可转化为;当时,不等式可转化为.
例61. 解下列不等式:
（1）;
（2）;
（3）.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴该不等式的解集为;
（2）
当时,,不符合题意;
当时,则有,∴.
综上,该不等式的解集为;
（3）当时,则有,解之得:;
当时,则有,解之得:.
综上所述,当时,该不等式的解集为,当时,该不等式的解集为.
3.对数型复合函数的单调性
对数型复合函数一般分为两类:型和型.
（1）研究型复合函数的单调性,令,则只需研究及的单调性即可;
（2）研究型复合函数的单调性,首先由确定函数的定义域,然后判断在定义域上的单调性,再结合对数函数的单调性,判断函数的单调性,其核心是:同增异减.
对数函数的单调性 对数型复合函数的单调性
当时,函数在上单调递增 当时,若在上单调递增,则在上单调递增;若在上单调递减,则在上单调递减
当时,函数在上单调递减 当时,若在上单调递增,则在上单调递减;若在上单调递减,则在上单调递增
例62. （1）已知,则的取值范围为__________.
（2）已知,则的取值范围为__________.
（3）已知≤,,则的取值范围为__________.
（4）若实数满足,则的取值范围为__________.
解:（1）
当时,,不符合题意;
当时,,∴.
∴的取值范围为;
（2）由题意可知:,解之得:.
∴的取值范围为;
（3）若,当≤时,,不符合题意;
若,当,且时,解之得:,∴.
∴的取值范围为;
（4）由得:;由得:
∴
∴的取值范围为.
例63. （1）若,则的取值范围为__________;
（2）若,则的取值范围为__________.
解:（1）∵,
∴,即的取值范围为;
（2）∵
∴,即的取值范围为.
例64. 若,求的取值范围.
解:.
当时,,符合题意;
当时,则有,解之得:,∴.
综上所述,的取值范围为.
例65. 若（）,求实数的取值范围.
解:由题意可知:,解之得:.
∴实数的取值范围为.
例66. 若,则的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:
当时,,符合题意;
当时,,∴.
综上所述,的取值范围是.
选择【 D 】.
例67. 已知,若≤,则实数的取值范围为__________.
解:∵,∴.
∵≤,∴≤.
∴≥,解之得:≤或≥1.
∴实数的取值范围为.
例68. 已知函数,.
（1）当时,求函数的值域;
（2）若函数的最小值记为,求的最大值.
解:（1）当时
∵,∴
∴.
∴当时,求函数的值域为;
（2）.
设,则.
∵,∴.
当时,函数在上为减函数
∴,即;
当≤≤1时,
∴;
当时,函数在上为增函数
∴.
综上所述,.
∴.
例69. 当时,不等式的解集是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:
∵,∴
∵
∴,解之得:.
∴原不等式的解集是.
选择【 C 】.
例70. 若对任意实数,都有≥1（）,则实数的取值范围是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵≥1,∴≥
∵,∴当时,显然不成立,∴.
∴≥恒成立,∴≤3,∴≤3.
∴实数的取值范围是.
选择【 B 】.
例71. 已知函数.
（1）求的定义域P;
（2）若函数,,求函数的值域.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴的定义域为为;
（2）
∴
设,则.
∵,即,∴.
∵在上为增函数,且当时,
∴,即函数的值域为.
例72. 已知函数（）满足,则的解集是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:∵函数（）满足,且
∴.
∵,∴,∴
∴,解之得:.
∴的解集是.选择【 C 】
例73. 已知实数满足关系式（,）.
（1）若,求的表达式;
（2）在（1）的条件下,若当时,有最小值8,求和的值.
解:（1）∵,∴
∵,,∴.
∴,∴
∴（）;
（2）设
∵
∴,无最大值.
若,要使在上有最小值8,则在应有最大值,但在上的最大值不存在,所以不符合题意;
若,要使在上有最小值8,则在应有最小值,由上面可知,
∴,∴.
综上所述,,.
例74. 已知函数（）.
（1）求函数的定义域;
（2）是否存在实数,使函数在上单调递减,并且最大值为1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解:（1）由题意可知:
∵,∴解之得:.
∴函数的定义域为;
（2）假设存在实数,使函数在上单调递减,并且最大值为1（反证法）.
设,∵,∴,∴在上为减函数且恒为正
∴,解之得:.
∵函数在上单调递减,∴
∴,即.
∵函数在上的最大值为1
∴,∴,解之得:
∵与矛盾,故假设不成立.
∴不存在实数,使函数在上单调递减,并且最大值为1.
例75. 已知函数.
（1）求的值;
（2）当时,求的最大值和最小值.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴函数的定义域为,关于原点对称.
∵
∴函数为定义在上的奇函数.
∴;
点评 奇函数的自变量互为相反数时,其对应的函数值也互为相反数.
解法二 ∵
∴
∴;
（2）设,.
∵在上均为减函数
∴函数在上为减函数
∴函数在上为减函数.
,.