4.2指数函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

指数函数知识点总结与例题讲解
本节知识点
（1）指数函数的概念
（2）指数函数的图象和性质
（3）指数函数的定义域和值域
（4）指数函数的单调性及其应用
（5）指数函数的图象变换
知识点一 指数函数的概念
一般地,函数（且）叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域是R.
1.为什么规定“且”?
答:若,则当时,,当≤0时,无意义;若,则对于的某些值,无意义,如函数,当时,函数无意义;若,则对任意的R,都有,没有研究的必要.
基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定且.上面的定义,是形式定义.
2.为什么指数函数的定义域是R?
答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R.
3.指数函数的结构特征
指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下:
（1）指数中只有一个自变量,而不是含自变量的多项式;
（2）的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量;
（3）底数必须满足且的一个常数.
根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.
例1. 已知函数是指数函数,求的值.
分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征:
（1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式;
（2）底数是一个大于0且不等于1的常数;
（3）的系数必须为1.
解:∵函数是指数函数
∴,解之得:.
例2. 已知指数函数的图象过点,则_________.
解:由题意可得:,解之得:或.
∵函数的图象经过点
∴.
例3. 若指数函数的图象经过点,求的解析式及的值.
解:设函数.
∵其图象经过点,∴,∴.
∴的解析式为.
∴.
例4. 函数是指数函数,则的值是【 】
（A）4 （B）1或3 （C）3 （D）1
解:由题意可得:,解之得:.
∴.选择【 C 】.
例5. 若函数（是自变量）是指数函数,则的取值范围是_________.
解:∵函数是指数函数
∴,解之得:且.
∴的取值范围是.
例6. 若函数是指数函数,求实数的取值范围.
解:∵函数是指数函数
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
知识点二 指数函数的图象和性质
一般地,指数函数（且）的图象和性质如下表所示:



图象
（在轴上方）

定义域 R
值域
性 质 （1）图象过定点;
（2）在R上为减函数 （2）在R上为增函数
指数函数函数值的特点:
（1）当时,若,则恒有;若,则恒有;
（2）当时,若,则恒有;若,则恒有.
1. 指数函数图象的画法
对于指数函数（且）,当时,;当时,;当时,.所以指数函数的图象经过三个关键点:,和.
在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.
（1）由于指数函数（且）的图象经过点,所以指数函数的图象与直线的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数就越大.
（2）由于指数函数（且）的图象经过点,所以指数函数的图象与直线的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,越大,底数就越小.
2. 函数（且）与函数（且）的图象的关系
在同一平面直角坐标系中,函数（且）与函数（且）的图象关于轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于轴对称.
如下图所示,指数函数与的图象关于轴对称.
（1）指数函数（且）与函数（且）的图象关于轴对称.
如上右图所示,指数函数与函数的图象关于轴对称.
（2）指数函数（且）与函数（且）（即）的图象关于原点对称（成中心对称）.
如下图所示,指数函数与函数（即）的图象关于原点对称.
3.与指数函数有关的恒过定点问题
由于指数函数（且）的图象恒过定点,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的,即为定点坐标.
例7. 函数（）的图象恒过定点_________.
解:令,则,.
∴函数（）的图象恒过定点.
例8. 函数（）的图象恒过定点P,则点P的坐标为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:令,则,.
∴定点P的坐标为.选择【 B 】.
例9. 函数（）的图象恒过的定点坐标为_________.
解:令,则,.
∴函数（）的图象恒过定点.
例10. 函数（）的图象过定点_________.
解:令,则,.
∴函数（）的图象过定点.
例11. 如果指数函数是R上的减函数,那么的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析 对于指数函数（且）,当时,函数的图象从左到右是下降的,函数为R上的减函数.
解:∵函数是R上的减函数
∴,解之得:.
∴的取值范围是.选择【 C 】.
例12. 已知集合,,则__________.
分析:指数函数为R上的增函数.
解:,
∵函数为R上的增函数
∴,∴
∴.
例13. 解不等式.
解:,
∵函数为R上的增函数
∴,解之得:.
∴原不等式的解集为.
例14. 不等式的解集为__________.
解:
∵函数为R上的增函数
∴,解之得:.
∵原不等式的解集为.
4.指数函数（且）的底数对函数图象的影响
底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:
（1）当时,指数函数的图象是上升的,函数是R上的增函数.底数越大,函数图象在轴右侧部分越接近于轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快;
（2）当时,指数函数的图象是下降的,函数为R上的减函数.底数越小,函数图象在轴左侧部分越接近于轴，即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.
根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:
.
前面已经提到,因为指数函数（,且）的图象经过三个关键点:,和,所以直线与指数函数图象的交点即为点,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:
结论 底数的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在轴右侧,底大图高.
另外,直线与指数函数图象的交点为（即）,交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在轴左侧,底大图低.
5.指数函数（且）与（且）的图象特点
（1）若,则当时,总有;当时,总有;当时,总有;
（2）若,则当时,总有;当时,总有;当时,总有.
综上所述,当,,且,时,总有;
当,,且,时,总有.
6. 指数函数（且）的图象和性质再说明
指数函数（且）的定义域是R,值域是.
图象:
（1）若,当时,,即的值越小,函数的图象越接近于轴,但不相交;
（2）若,当时,.即的值越大,函数的图象越接近于轴,但不相交.
因此,轴（即直线）是指数函数（且）的图象的一条渐近线.
性质:
（1）若,则当时,总有,即函数图象轴右侧的部分在直线的上方;当时,总有,即函数图象轴左侧的部分在直线和轴之间.
（2）若,则当时,总有,即函数图象轴右侧的部分在直线和轴之间;当时,总有,即函数图象轴左侧的部分在直线的上方.
例15. 设,且,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
解法一:∵,且
∴指数函数（且）和（且）在轴右侧的图象都在直线的上方,它们的的图象是上升的,∴,
∵在轴右侧,指数函数（且）的图象在（且）的图象的上方
∴根据第一象限“底大图上”,有.
∴.选择【 C 】.
解法二:∵,∴
∵,∴.
∵,,
∴,∴,∴.
∴.
例16. 已知实数满足,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序号为__________.
①; ②; ③; ④; ⑤.
分析:采用数形结合的方法解决本题:在同一平面直角坐标系中分别画出指数函数和的草图,在画图时要注意轴左侧“底小图高”和轴右侧“底大图高”,还有指数函数的图象都经过定点.
解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数和的图象.为便于观察并发现问题,设.
当时,有;
当时,有;
当时,有,此时.
∴可能成立的序号为②④⑤.
例17. 设,,,则的大小关系是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中与的大小比较;
（2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中与的大小比较.
本题知识储备
（1）对于指数函数（且）,当时,函数在R上为减函数,即随的增大而减小.
（2）对于指数函数（且）与（且）,若,则当时,;当时,.
解:∵指数函数在R上为减函数
∴,即.
∵,∴,即.
∴,选择【 A 】.
另外,也可以这样比较与的大小:∵,∴.
例18. 设,,,则的大小关系是__________.
解:∵指数函数在R上为减函数
∴,即.
∵,
∴,即.
∴.
另外,根据: 对于指数函数（且）与（且）,若,则当时,;当时,.可直接得到.
例19. 设,,,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系.
解:∵,,
∴,,.
∵指数函数在R上为增函数
∴,即
∴.选择【 B 】.
例20. 设,那么【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵,∴.
∵指数函数为R上的减函数
∴.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象如下页图所示.
由图象可得:.选择【 C 】.
知识点三 指数函数的定义域和值域
1 定义域
（1）指数函数（且）的定义域为R.
（2）函数（且）的定义域与函数的定义域相同.
（3）函数的定义域与函数的定义域不一定相同.
例如,函数的定义域为,而函数的定义域为R.
注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是型还是型.
例21. 函数的定义域为【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可得:,解之得:≤0.
∴函数的定义域为.选择【 A 】.
例22. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）.
解:由题意可知:≥0,∴≤1,∴≥0.
∴该函数的定义域为;
（2）由题意可知:≥0,解之得:≥.
∴该函数的定义域为.
例23. 函数的定义域为__________.
解:由题意可得:,解之得:≥0且.
∴函数的定义域为.
例24. 求函数的定义域.
解:由题意可得:
∴,解之得:（舍去）,.
∵函数为R上的增函数,,∴.
∴函数的定义域为.
2 值域
（1）指数函数（且）的值域为.
（2）求形如的函数的值域时,设,先求出的值域（即的范围）,然后根据函数的单调性,即可求出函数的值域.
（3）求形如的函数的值域时,转化为求时,函数的值域.
例25. 求函数的值域.
解:.
设,则,∴.
∵
∴,无最大值.
∴函数的值域为.
例26. 求函数的值域.
解:.
设,则,∴.
∴函数在上为增函数
∴函数的值域为.
注意例25和例26的区别.
例27. 已知函数（≥0）的图象经过点,其中,且.
（1）求的值;
（2）求函数的值域.
分析:求指数函数（且）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可.
解:（1）把代入得:;
（2）由（1）知,为R上的减函数
∵≥0,∴≥,∴≤.
∴函数的值域为.
注意:指数函数（且）的图象位于轴的上方,并且在一个方向上无限接近于轴,函数的值域为.本题易错结果为.
总结 求形如的函数的值域时,设,先求出的值域（即的范围）,然后根据函数的单调性,即可求出函数的值域.
例28. 若函数（且）的定义域和值域都是,求实数的值.
分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论.
解:由题意可知:
当时,函数在上为减函数
∴,显然无解;
当时,函数在上为增函数
∴,解之得:（舍去）.
综上所述,实数的值为.
例29. 求下列函数的定义域和值域:
（1）; （2）.
本题知识点储备
（1）函数（且）的定义域与函数的定义域相同.
（2）求形如的函数的值域时,设,先求出的值域（即的范围）,然后根据函数的单调性,即可求出函数的值域.
解:（1）由题意可得:,解之得:.
∴函数的定义域为.
∵,∴,且.
∴函数的值域为;
（2）函数的定义域为R.
∵≥
∴≤,且.
∴函数的值域为.
例30. 求下列函数的定义域和值域:
（1）; （2）.
解:（1）函数的定义域为R.
∵≥0,∴≤0.
∴
∴函数的值域为;
（2）函数的定义域为R.
∵≤1
∴,且.
∴函数的值域为.
例31. 如果函数（且）在上有最大值,且最大值为14,试求的值.
分析:这是求型函数的定义域和值域.
求形如的函数的值域时,转化为求时,函数的值域.
解:.
设,则,∴.
当时,∵,∴.
∵函数在上为增函数
∴,解之得:（不符合题意,舍去）;
当时,∵,∴
∵函数在上为增函数
∴,解之得:（不符合题意,舍去）.
综上所述,或.
例32. 求函数的值域.
解:
设,则,∴.
∴函数在上为增函数.
取,得.
∴函数的值域为.
例33. 已知,求函数的最值.
解:.
设,∵,∴.
∴
∵
∴.
例34. 若≤,则函数的值域是_________.
解:∵≤,∴≤.
∵函数在R上为增函数
∴≤,解之得:≤≤1,即.
∴函数在上的值域为.
例35. 的值域是【 】
（A） （B） （C） （D）
解法一:
设,则,.
∵,∴,∴.
∴,即函数的值域为.选择【 B 】.
解法二:.
∵,∴,∴,∴.
例36. 已知定义在R上的偶函数满足:当≥0时,,.
（1）求实数的值;
（2）用定义法证明在上是增函数;
（3）求函数在上的值域.
解:（1）∵当≥0时,,
∴,解之得:;
（2）证明:由（1）可知:.
任取,且,则
∵,且
∴
∴.
∴在上是增函数;
（3）∵函数为偶函数,且在上为增函数
∴在上为减函数
∴.
∵,,
∴在区间上.
∴函数在上的值域为.
利用单调性法求最值的结论
（1）如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数在区间上有最大值.如下页图所示;
（2）如果函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,那么函数在区间上有最小值.如下图所示.

第（3）问另解:∵函数为定义在R上的偶函数
∴在区间和上的值域相同
∴在上的值域即在上的值域.
∵在上为增函数
∴在上为增函数
∴,.
∴函数在上的值域为.
例37. 设函数,是不为零的常数.
（1）若,求使≥4的的取值范围;
（2）当时,的最大值是16,求的值.
解:（1）∵,
∴,∴,解之得:.
∴.
∵≥4,∴≥,∴≥2,解之得:≥4.
∴使≥4的的取值范围是;
（2）.
当时,在上为增函数
∴,∴,解之得:;
当时,在上为减函数
∴,∴,解之得:.
综上所述,或.
例38. 已知函数（且）.
（1）当时,,求的取值范围;
（2）若在上的最小值大于1,求的取值范围.
解:（1）当时,.
∵,∴,∴,解之得:.
∴的取值范围是;
（2）∵且
∴函数在上为减函数.
当时,在上为减函数
∴,∴,解之得:.
∴;
当时,在上为增函数
∴,显然不成立.
综上所述,的取值范围是.
例39. 已知函数的图象（且）过点.
（1）求实数的值;
（2）若函数,求函数的解析式;
（3）在（2）的条件下,若函数,求在上的最小值.
本题知识储备 求形如的函数的值域时,转化为求时,函数的值域.
解:（1）∵函数的图象过点
∴,解之得:.
∴实数的值为;
（2）由（1）知:
∵
∴;
（3）∵
∴.
设,∵,∴
∴,.
①当时,在上为减函数
∴,∴;
②当≤≤2时,,∴;
③当时,在上为增函数
∴,∴.
综上所述,.
例40. 已知函数,,其中.当时,的最大值与最小值之和为.
（1）求的值;
（2）若,记函数,求当时,的最小值.
分析:（1）指数函数（）在其定义域内为单调函数,所以指数函数在给定闭区间上的最值在区间的端点处取得,故本问不用进行分类讨论.
解:（1）∵函数（）在上为单调函数
∴由题意可知:.
∴,解之得:.
∴的值为或2;
（2）∵,∴,∴.
∵
∴.
设,∵,∴
∴
①当时,在上为减函数
∴,即;
②当1≤≤2时,,即;
③当时,在上为增函数
∴,即.
综上所述,.
例41. 已知函数.
（1）当时,解不等式;
（2）当,时,求的值域.
解:（1）当时,.
设,则,.
∵,∴,解之得:或.
∵
∴,∴,∴.
∴不等式的解集为;
（2）当时,.
设,∵,∴,
∵在上为增函数
∴.
∴函数的值域为,即函数在上的值域为.
例42. 已知函数（其中为常数,）的图象经过点,.
（1）求函数的解析式;
（2）若,函数,求函数在上的值域.
解:（1）把,分别代入得:
,解之得:或.
∴函数的解析式为;
（2）若,则
∴
设,∵,∴,.
∴,.
∴在上的值域为,即函数在上的值域为.
说明:方程组可以这样求解:∵,∴.
∴是方程的两个实数根（方程思想）.
解之得:,∴或.
例43. 函数,的值域是__________.
解:设,∵,∴,.
∴
∴函数在上的值域为.
∴函数,的值域是.
例44. 已知函数（R）.
（1）若,求的值;
（2）若有最大值9,求的值.
解:（1）∵
∴,∴,解之得:;
（2）设
∴
∴,∴,解之得:.
例45. 若函数的最大值为2,则实数的值为【 】
（A） （B） （C） （D）
解:设,则≤,即函数的最大值为1.
∵函数的最大值为2
∴,∴
解之得:.选择【 A 】.
例46. 例45的第三种解法 以下几例为求型函数的值域
的值域是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:设,则,.
∴,解之得:.选择【 B 】.
例47. 函数（≥0）的值域为__________.
不等分析法和单调性法
解:∵≥0,∴≤0,∴≤3
∴≤,∴≤.
∴≤,0≤,即函数（≥0）的值域为.
注意: 不要漏掉这一范围.
例48. 函数的值域是__________.
解:由题意可知:≤16,∴≤,∴0≤.
∴0≤,0≤.
∴函数的值域是.
例49. 函数的定义域是__________,值域是__________.
解:由题意可知:,∴,解之得:.
∴函数的定义域是.
设,则（）,.
∵,∴,∴,∴（可结合图象）
∴,,∴
∴函数的值域为.
例50. 函数的值域为__________.
解:
∵,∴,∴,即.
∵,∴该函数的值域为.
例51. 函数的值域是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:.
∵,∴,∴,∴
∴,即.
∴函数的值域是.选择【 D 】.
解法二:
设,则,
∴,∴,解之得:.
∴函数的值域为.
例52. 求下列函数的值域:
（1）（,且）;
（2）.
解:（1）.
∵,∴,∴,∴
∴,即.
∴该函数的值域为.
解法二:设,则,
∴,∴,解之得:.
∴该函数的值域为.
（2）
设,则,
∵,∴.
∴函数的值域为.
例53. 已知函数（）的定义域和值域都是,则_________.
解:当时,函数在上为减函数
∴,即,解之得:.
∴;
当时,函数在上为增函数
∴,即,显然方程组无解.
综上所述,.
例54. 函数的值域为【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:≤4,∴≤,∴0≤
∴0≤,∴≤,即≤.
∴函数的值域为,选择【 D 】.
例55. 已知函数,则的【 】
（A）定义域是,值域是R
（B）定义域是R,值域是
（C）定义域是R,值域是
（D）定义域、值域都是R
解:函数的定义域为R.
∵,∴,即
∴函数的值域为.选择【 C 】.
例56. 下列各函数中,值域为的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:（A）函数的定义域为R,值域为,故（A）正确;
（B）∵≤1,∴≤,∴≤,∴0≤.
∴函数的值域为;
（C）∵≥
∴函数的值域为;
（D）对于函数,因为,所以,且,故该函数的值域为.
例57. 关于的方程有解,则的取值范围是__________.
解:∵,∴
∵≥0,∴≤1
∵方程有解
∴≤1,解之得:≤0.
∴的取值范围是.
例58. 关于的方程有正实数根,则实数的取值范围是_________.
分析:该方程有正实数根指的是.
解:∵方程有正实数根
∴,∴,∴.
解之得:,即实数的取值范围是.
例59. 已知方程有两个实数解,求实数的取值范围.
分析:设,则,方程可转化为关于的一元二次方程,且方程有两个正实数根.
结论 一元二次方程有两个正实数根的条件是
解:设,则,∵,∴
由题意可知:方程有两个正实数根
∴,解之得:≤.
∴实数的取值范围是.
例60. 已知函数（且）,当≥0时,求该函数的值域.
解:设,则,.
当时,∵≥0,∴≥1
∵函数在上为增函数
∴,∴函数的值域为;
当时,∵≥0,∴≤1
∴≤,∴≤2,即函数的值域为.
综上所述,当时,函数的值域为;当时,函数的值域为.
知识点四 指数函数的单调性及其应用
1 单调性
当时,函数在R上为增函数;当时,函数在R上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:
指数函数的单调性 指数型复合函数的单调性
当时,函数在 R上为增函数 当时,若在上单调递增,则函数在上单调递增;若在上单调递减,则函数在上单调递减.
当时,函数在 R上为减函数 当时,若在上单调递增,则在单调递减;若在上单调递减,则在上单调递增.
注意 讨论形如的函数的单调性,首先要确定函数的单调性,然后结合底数的范围来确定函数的单调性.确定的依据是:同增异减.
2 单调性的应用
（1）应用于比较大小
类型一 比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较;
类型二 比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在轴右侧（即）底大图高（函数值大）,在轴左侧,底小图高;
类型三 比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量（如0和1）并结合函数的单调性比较大小.
（2）应用于解简单不等式
不等式可化为的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为（当时）或（当时）,然后进行求解.
例61. 求函数的单调性.
解:设,则函数在上为增函数,在上为减函数
∴函数在上为增函数,在上为减函数.
例62. 求函数的单调性.
解:设,则函数在上为增函数,在上为减函数
∴函数在上为减函数,在上为增函数.
例63. 函数的单调递增区间是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:设,则函数在上为增函数,在上为减函数
∵指数函数在R上为减函数
∴函数的单调递增区间为.选择【 C 】.
例64. 求函数的单调区间.
解:设,则.
∵函数在上为增函数,在上为减函数,函数在R上为增函数
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例65. 求函数的单调区间.
解:
设,则,且函数在R上为增函数
∴
∴函数在上为减函数,此时;在上为增函数,此时.
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例66. 求函数的单调区间.
解:设,,则,且.
∵函数在和上均为增函数
函数在上为减函数
∴函数的单调递减区间为和,无单调递增区间.
例67. 函数的单调增区间为__________.
解:∵,∴
∴函数的单调增区间即函数的单调减区间.
∵
∴函数的单调减区间为
∴函数的单调增区间为.
例68. 若函数在内单调递增,则的取值范围是__________.
解:设
∵函数在内单调递增
∴函数在内单调递增
∴≥1,解之得:≥2,即的取值范围是.
例69. 若函数在上单调递减,则的取值范围是__________.
解法一:设,则,.
∵函数在上为减函数
∴≤,解之得:≤0.
∴函数在上为减函数.
∵函数在上单调递减
∴≤0,即的取值范围是.
解法二:函数的图象大致如图所示.
由图象可知:函数的单调递减区间
为,所以.
例70. 已知函数是R上的增函数,则实数的取值范围是__________.
分析: 要使分段函数在R上为增函数,需满足在每一段上都是增函数,即函数在上为增函数,函数在上为增函数,且从左到右每一段的最大值都小于或等于后一段的最小值,即≤.
解:由题意可得:
,解之得:4≤.
∴实数的取值范围是.
总结 解决分段函数的单调性问题时,一般要从两个方面考虑:一是在分段函数的每一段上的函数都具有相同的单调性,由此列出相关的式子;二是要考虑端点处的衔接情况,由此列出另一个式子.
例71. 函数的单调递增区间是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:设,则函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间.
∵
∴函数的单调递减区间为,即函数的单调递增区间为.选择【 C 】.
总结
函数（且）的单调性的求法
（1）当时,函数与函数的单调性相同;
（2）当时,函数与函数的单调性相反.
函数（且）的单调性的求法
设
（1）当时,函数与函数的单调性相同;
（2）当时,函数与函数的单调性相反.
例72. 求下列函数的单调区间:
（1）; （2）.
解:（1）设,则.
∵函数在上为减函数,在上为增函数,函数在R上为减函数
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（2）设,则,.
∵函数在R上为减函数
∴函数在上为减函数,此时;在上为增函数,此时.
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例73. 已知（且）,求的取值范围.
解:当时,,解之得:;
当时,,解之得:.
综上所述,当时,的取值范围为;当时,的取值范围为.
总结 解指数不等式时,若底数的范围不确定,则应进行分类讨论.
例74. 已知,则的取值范围为__________.
解:.
∵
∴,解之得:.
∴的取值范围为.
例75. 若函数,则不等式≥的解集为__________.
解:当时,≥,显然不成立;
当≥0时,≥,解之得:0≤≤1.
综上所述,不等式≥的解集为.
例76. 已知集合,.
（1）求CR;
（2）已知,若,求实数的取值范围.
解:（1）,
.
∴
∴CR;
（2）∵,∴.
∵
∴,解之得:2≤≤8.
∴实数的取值范围是.
例77. 已知函数.
（1）如果,求的取值范围;
（2）如果0≤≤2,求的取值范围.
解:（1）
∵,∴,
∴
∵
∴,解之得:.
∴的取值范围为;
（2）设,∵0≤≤2,∴1≤≤4,即
∴
∵
∴,.
∴的取值范围为.
例78. 已知函数满足.
（1）求常数的值;
（2）解关于的不等式.
分析:已知自变量的值,求分段函数的函数值时,要弄清楚自变量的值在分段函数的哪一段的区间上,然后代入求值.
解:（1）显然,∵
∴,解之得:（舍去）;
（2）由（1）知:.
当时,由得,解之得:;
当≤时,由得,解之得:≤.
综上所述,不等式的解集为.
说明: 不等式的解法:,
∴,解之得:.
例79. 判断函数在区间上的单调性,并证明.
解:函数在区间上为减函数.
理由如下:任取,且,则
∵,且
∴
∴
∴函数在区间上为减函数.
例80. 已知函数,判断函数的单调性,并证明.
解:函数在和上为减函数.
理由如下:由题意可知,函数的定义域为.
.
任取,且,则
.
∵,且,∴
∴
∴函数在上为减函数.
同理可证,函数在上也是减函数.
综上所述,函数在和上为减函数.
与指数函数有关的恒成立问题
例81. 若对于任意,都有成立,则的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:这是与函数有关的恒成立问题,求解时常采用分离参数法.将函数的恒成立问题,转化为求函数的最值问题.
结论 分离参数法
在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是参数,另一端是函数的不等式.
①≤恒成立≤;
②≥恒成立≥.
解:∵,∴.
设,只需在时,即可.
∵,∴≥,∴.
∴,解之得:
∴的取值范围是.选择【 C 】.
例82. 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵,∴.
设,只需在时,即可.
∵,∴≥,∴.
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.选择【 A 】.
例83. 若函数在区间内有意义,则实数的取值范围是__________.
解:由题意可知≥0在区间上恒成立,即≥恒成立.
设,只需在上≥即可.
∵,∴≥,∴≤,即≤,∴.
∴≥,即实数的取值范围是.
例84. 已知函数,对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
解:∵,∴,∴.
设
要使对任意的,恒成立,只需即可.
∵,∴,∴.
∴,即实数的取值范围为.
例85. 已知,.
（1）求的值域;
（2）若对任意和都成立,求的取值范围.
解:（1）
设,∵,∴.
∴
∵,∴,.
∴函数的值域为,即函数的值域为;
（2）∵对任意和都成立
∴,∴,∴.
设,只需即可.
当时,函数在上为增函数
∴,由可得:.
∴;
当时,,符合题意;
当时,函数在上为减函数
∴,由可得:.
∴.
综上所述,的取值范围是.
例86. 已知函数（）在区间上有最大值6和最小值2,设.
（1）求的值;
（2）若不等式≥0在上恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）函数（）的图象开口向上,对称轴为直线
∵函数在区间上有最大值6和最小值2
∴,即,解之得:;
（2）由（1）可知:.
∴,∴.
∵≥0,∴≤
设,∵,∴,.
∴只需≤即可.
∵,∴,∴≤.
∴实数的取值范围是.
例87. 已知函数（为常数且）的图象经过点,.
（1）试确定函数的解析式;
（2）若关于的不等式≥0在区间上恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）把,分别代入得:
,解之得:（不符合题意,舍去）;
∴函数的解析式为;
（2）∵≥0
∴≥0,∴≤.
设,则≤
∵不等式≥0在区间上恒成立
∴只需≤即可.
∵在为减函数
∴
∴≤,即实数的取值范围为.
例88. 已知函数（且）的图象经过点.
（1）求的解析式;
（2）证明:在上是增函数.
解:（1）把代入得:
,整理得:.
解之得:或.
∵且,∴或.
当时,;
当时,.
综上所述,函数的解析式为;
（2）证明:任取,且,则有
∵,且
∴
∴.
∴函数在上是增函数.
3 指数方程的解法
（1）对于型指数方程通常将方程两边化为同底数幂的形式,然后通过指数相等求解;（如果两个同底数幂相等,则它们的指数相等）
（2）解复杂的指数方程时常用换元法,转化为解二次方程.换元后要特别注意新元的范围,根据新元的范围对二次方程的根作出取舍.
例89. 解下列方程:
（1）; （2）.
解:（1）,∴.
∴,解之得:;
（2）.
设,则,.
解之得:（舍去）.
∴,∴.
例90. 方程的解构成的集合为【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:,,
∴或,解之得:或.
∴该方程的解构成的集合为.选择【 C 】.
例91. 方程的实数解的个数为_________.
分析:分别构造两个函数和,这样就将方程解的个数问题转化为了两个函数图象交点的个数问题,即数形结合方法.
解:设,,在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象.
由图象可知,两个函数的图象共有两个不同的交点,所以方程的实数解的个数为2.
例92. 方程的解为_________.
解:,∴,解之得:.
例93. 比较与的大小.
解:∵,
∴.
例94. 设,,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:,,
∵
∴.选择【 D 】.
例95. 已知,,则的大小关系是__________.
解:显然,.
∴.
例96. 设函数定义在实数集R上,满足,当≥1时,,则下列结论正确的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵函数满足
∴函数的图象关于直线对称
∴,.
∵当≥1时,
∴,即.选择【 C 】.
结论 如果函数在其定义域内满足,则函数的图象关于直线对称.
例97. 已知是偶函数,且当时,是减函数,则与的大小关系为【 】
（A） （B）
（C）≤ （D）无法比较
解:∵是偶函数,∴,即
∴函数的图象关于直线对称
∵当时,是减函数
∴当时,是增函数
若,则;
若,则,从而;
若,则,从而.
综上所述,≤.选择【 C 】.
例98. 设是定义在实数集R上的函数,满足是偶函数,且当≥1时,,则,,的大小关系是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解: ∵是偶函数,∴,即
∴函数的图象关于直线对称
∴,
∵当≥1时,
∴,即.选择【 D 】.
例99. 已知函数满足,且对于任意实数,都有,则与的大小关系是__________.
解:∵函数满足,∴
∴.
∵
∴函数的图象关于直线对称
∴,∴.
∴,.
当,即时,有;
当时,则;
当,即时,有.
综上所述,≥,即≥.
例100. 已知函数,,则下列结论中一定成立的是【 】
（A） （B）,≥0,
（C） （D）
解:画出函数的图象如图所示.
∵,
∴,∴.选择【 D 】.
知识点五 指数函数的图象变换
已知指数函数（且）.
1 平移变换
（1）把函数的图象向上平移个单位长度,得到函数的图象;
（2）把函数的图象向下平移个单位长度,得到函数的图象;
（3）把函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象;
（4）把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象.
平移额法则:上加下减,左加右减.
2 对称变换
（1）函数与函数的图象关于轴对称;
（2）函数与函数的图象关于轴对称;
（2）函数与函数的图象关于原点对称.
3 翻折变换
（1）已知函数,作出函数的图象,保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方,得到的是函数的图象;
（2）已知函数,作出函数的图象,保留轴上及其右边的图象,把轴右边的图象翻折到轴左边,得到的是函数的图象.
规律总结
（1）已知函数的图象,保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方,即可得到函数的图象;
（2）已知函数的图象,保留轴上及其右边的图象,把轴右边的图象翻折到轴左边,即可得到函数的图象.
声明 在进行与指数函数有关的函数的图象的变换时,应根据实际情况把渐近线作出相应的变换.
例101. 要得到函数的图象,只需将函数的图象【 】
（A）向左平移1个单位长度 （B）向右平移1个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
解:∵,
∴只需将函数的图象向右平移个单位长度,即可得到函数的图象.选择【 D 】.
例102. 若函数的图象不过第二象限,则的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:由题意可知:≤0.
解之得:≤,∴的取值范围是.选择【 A 】.
例103. 若函数（且）的图象经过第二、三、四象限,则一定有【 】
（A）,且 （B）,且
（C）,且 （D）,且
解:由题意可知:,且,解之得:.选择【 C 】.
例104. 若函数（且）的图象不经过第一象限,则的取值范围是_________,的取值范围是_________.
例105. 若,则【 】
（A）在上单调递减
（B）与的图象关于轴对称
（C）的图象过点
（D）的值域为
解:（A）函数在R上为增函数,故在上单调递增,（A）错;
（B）在同一平面直角坐标系中,函数与函数的图象关于轴对称.函数的图象与函数的图象关于轴对称,（B）正确;
（C）,所以函数的图象过点,（C）错;
（D）因为,所以,,即函数的值域为,（D）错.
选择【 B 】.
例106. 若指数函数（且）在R上是减函数,则函数在R上的单调性为【 】
（A）单调递增
（B）在上单调递减,在上单调递增
（C）单调递减
（D）在上单调递增,在上单调递减
解:∵函数在R上是减函数,∴,∴
∵函数在R上为增函数,
∴函数在R上单调递减.选择【 C 】.
结论 当时,函数与函数具有相同的单调性;当时,函数与函数具有相反的单调性.
例107. 若函数（且）的图象恒过定点,则函数在上的最小值等于__________.
解:令,则.
∴函数的图象恒过定点.
∵函数的图象恒过定点
∴,解之得:,∴.
∵,∴.
即在上的最小值等于.
本题是与指数函数有关的函数图象过定点的问题:
由于指数函数（且）的图象恒过定点,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的,即为定点坐标.
例108. 当为何值时,方程无解?有一解?有两解?
关键词 数形结合思想 函数与方程思想
解:设,则方程的解的情况转化为了函数与直线的相交情况.
如下图所示,为函数的图象.
结合图象可知,当时,方程无解;当或≥1时,方程有一解;当时,方程有两解.
例109. 若直线与函数（且）的图象有两个公共点,则的取值范围是__________.
解:当时,函数的图象如下页作图所示,此时,所以直线与函数的图象只有一个公共点,不符合题意;
当时,函数的图象如右图所示,显然,当,即时, 直线与函数的图象有两个公共点.

综上所述,的取值范围是.
例110. 若直线与函数（且）的图象有两个公共点,求实数的取值范围.
解:当时,函数的图象如下左图所示,此时,所以直线与函数的图象只有一个公共点,不符合题意;
当时,函数的图象如右图所示,显然,当,即时, 直线与函数的图象有两个公共点.

综上所述,实数的取值范围是.
总结 在运用指数函数的图象解决问题时,要注意渐近线的变化.当进行图象的变换时,渐近线也要作相应的变化.
例111. 已知函数.
（1）作出函数的图象;
（2）由图象指出其单调区间;
（3）由图象指出,当取什么值时函数有最值?
分析:（1）函数的图象关于直线对称;
（2）设,易知函数在上为减函数,在上为增函数.
∵函数在R上为减函数
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（3）∵≥0,∴≤,即≤1.
∴函数的最大值为1,此时.
解:（1）,其图象如图所示;
（2）由图象可知,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（3）由图象可知,当时,函数有最大值为,函数无最小值.
注意 既然函数的图象关于直线对称,那么在作图时只需要画出函数在上的图象即可,再作出其对称图形.作图关键点:,,.
与指数函数有关的函数的奇偶性
对于指数函数（,且）,有如下结论:
函数为偶函数,函数为奇函数.
推论 函数或函数是奇函数.
例112. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:（A）函数的定义域为R,关于原点对称
∵,∴该函数为偶函数;
（B）函数的定义域为,关于原点对称.
∵,∴该函数为奇函数;
（C）函数的定义域为R,关于原点对称.
∵,∴该函数为偶函数;
（D）函数的定义域为R,关于原点对称.
∵,且,∴该函数为非奇非偶函数.
选择【 D 】.
例113. 函数是奇函数,则使成立的的取值范围为【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵函数是奇函数
∴,解之得:,∴.
∵,∴,解之得:.
∴的取值范围为.选择【 C 】.
例114. 若函数（R）满足,且在上单调递增,则实数的最小值等于_________.
解:∵函数满足
∴函数的图象关于直线对称
∵函数的图象关于直线对称,∴.
∵函数的单调递增区间为
∴≥1,即实数的最小值等于1.
结论 函数（且）的图象关于直线对称.
（1）当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是;
（2）当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
例115. 已知函数,则【 】
是偶函数,且在R上是增函数
是奇函数,且在R上是增函数
是偶函数,且在R上是减函数
是奇函数,且在R上是减函数
解:,其定义域为R,关于原点对称.
∵,∴函数是奇函数.
∵函数与函数在R上均为增函数
∴函数在R上也是增函数.选择【 B 】.
例116. 已知函数.
（1）求函数的定义域;
（2）讨论函数的奇偶性;
（3）证明:.
解:（1）由题意可知:,解之得:.
∴函数的定义域为;
（2）由（1）可知,函数的定义域关于原点对称.
∵
∴函数为偶函数;
（3）证明:∵
∴当时,,
∴;
∵函数为偶函数,∴当时,.
综上所述,.
例117. 已知函数.
（1）证明为奇函数;
（2）判断的单调性,并用定义加以证明;
（3）求的值域.
解:由题意可知,函数的定义域为R,关于原点对称.
∵
∴函数为奇函数;
（2）函数在R上为增函数.
理由如下:.
任取R,且,则有
∵R,且
∴
∴
∴函数在R上为增函数;
（3）
∵,∴,,∴,∴.
∴,即函数的值域为.
例118. 函数是奇函数,则实数的值是_________.
解:.
∵函数是奇函数
∴,解之得:.
解法二:由题意可知,函数的定义域为R.
∵函数是奇函数
∴,∴,解之得:.
例119. 已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求实数的值;
（2）用定义法证明:函数在R上是减函数.
解:（1）∵函数是定义在R上的奇函数
∴,∴,解之得:;
（2）证明:由（1）可知:.
任取R,且,则有
∵R,且
∴
∴,.
∴函数在R上是减函数.
例120. 函数,若有,则实数的取值范围是__________.
解:∵,∴.
设,易知函数为R上的奇函数.
,易证在R上为增函数.
∵,∴
即
∴,∴
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
例121. 已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求实数的值;
（2）判断函数的单调性;
（3）若对于≥0恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）∵函数是R上的奇函数
∴,∴,∴.
∵
∴,解之得:;
（2）由（1）可知:.
任取R,且,则有
∵R,且
∴
∴.
∴函数为R上的减函数;
（3）∵
∴
∵函数是R上的奇函数
∴
∴
∵函数为R上的减函数
∴,∴.
设
∵不等式对于≥0恒成立
∴只需即可.
易知函数在≥0时为增函数,∴.
∴,即实数的取值范围为.
例122. 已知函数（R）.
（1）是否存在实数使得为奇函数?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由;
（2）在（1）的结论下,若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）存在,理由如下:
由题意可知,函数的定义域为R,若函数为奇函数,则有.
∴,解之得:;
（2）由（1）可知:.
∵,∴
∵函数为奇函数,∴
∵为R上的增函数
∴,∴.
设,∵,∴,
设
∴.
要使上述不等式恒成立,只需即可.
∴,即实数的取值范围是.
例123. 已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值;
（2）判断并证明的单调性;
（3）若对于任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）∵函数是R上的奇函数
∴,∴,解之得:;
（2）函数在R上为增函数.理由如下:
由（1）可知:.
任取R,且,则有
∵R,且
∴
∴
∴函数在R上为增函数;
（3）∵,∴
∵函数是R上的奇函数,∴
∵函数在R上为增函数,∴
∴,恒成立.
∵,∴,,∴,∴.
∴≤2,即实数的取值范围为.
本节知识点与例题讲解结束.