湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末联考暨新高三适应性联合考试数学试题 Word版含答案解析

1252220011455400名校联考联合体2021年春季高二期末联考
暨新高三适应性联合考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．集合false，false，则false的子集个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
2．在false中，false，false点是false边上的中点，false，false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．14 D．false
3．一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知椭圆false的离心率为false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．偶函数false的定义域为false，当false时，false是增函数，则false，false，false的大小关系是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A．false尺 B．false尺 C．false尺 D．false尺
7．false的展开式中false项的系数为（ ）
A．false B．false C．24 D．false
8．动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未-巳-寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要false个手势，则（ ）
A．当false时，共有false种不同的忍术
B．当false时，共有false种忍术
C．当false时，共有1452种不同忍术
D．当false时的忍术种类是false的忍术种类的12倍
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，下图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多
B．2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化
C．2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多
D．随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多
10．已知false，false为正数，且false，那么下列结论中正确的有（ ）
A．false的最小值是2 B．false
C．false D．false
11．已知在正方体false中，点false，false分别为棱false，false上的中点，过false，false的平面false与底面false所成的锐二面角为60°，则正方体被平面false所截的截面形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．著名的欧拉公式为：false，其中false，false为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是false，该复数在复平面内对应的向量坐标为false，则下列说法正确的是（ ）
A．false
B．若复数false满足false，则false
C．若复数false与复数false在复平面内表示的向量相互垂直，则false
D．复数false与复数false在复平面内表示的向量相互垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知false，false，则false______．
14．已知函数false在false上的最大值为1，则函数false在false处的切线方程为______．
15．某函数false图象关于false轴对称，且在false递减，在false递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可）
16．已知圆false与抛物线false相交于false，false两点，false为抛物线的焦点，若直线false与抛物线相交于false，false两点，且与圆相切，切点false在劣弧false上，当直线false的斜率为0时，false______；当直线false的斜率不确定时，false的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知false的内角false、false、false的对边分别为false，false，false，且false，false．
（1）求角false的大小；
（2）求false面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知数列false满足false，false且false，false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false的前false项和为false，false，且满足false，记false，求数列false的前false项和false．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥false中，底面false是正方形，侧棱false底面false，点false、false分别是false，false上的动点，且false．
（1）求证：false平面false；
（2）若false，且false与底面false所成角的正弦值为false，求二面角false的余弦值．
20．（本小题满分12分）
杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）
（2）以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为false，求随机变量false的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
设点false为双曲线false上任意一点，双曲线false的离心率为false，右焦点与椭圆false的右焦点重合．
（1）求双曲线false的标准方程；
（2）过点false作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点false，false，求证：平行四边形false的面积为定值，并求出此定值．
22．（本小题满分12分）
设函数false．
（1）若函数false有两个不同的极值点，求实数false的取值范围；
（2）若false，false，false，当false时，不等式false恒成立，试求false的最大值．
名校联考联合体2021年春季高二期末联考
暨新高三适应性联合考试
数学参考答案
一、二、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
D
A
B
C
ACD
BCD
AD
ABD
1．考点：两集合的交并补运算，子集个数求法
【解析】false，false，则false，
∴false的子集个数为false个．
2．考点：平面向量数量积运算
【解析】false，false，则false．
3．考点：古典概型求概率
【解析】由题意可得恰好一个白球一个红球的概率为false．
4．考点：椭圆的离心率与false、false的关系
【解析】false，得false，得false，即false．
5．考点：抽象函数的单调性与奇偶性应用
【解析】∵函数false是偶函数，∴false时，false是减函数，∴false，故选D．
6．考点：数列文化题，等比数列的通项公式和求和问题
【解析】设大老鼠第false天打洞的距离为false，则数列false是首项为1，公比为2的等比数列，其前false项和为false；小老鼠第false天打洞的距离为false，则数列false是首项为1，公比为false的等比数列，其前false项和为false．则false，则false，从而相距false尺．
7．考点：二项式定理的应用
【解析】由二项式展开公式知false的第false项为false，令false得false，令false得false，∴在false的展开式中false项的系数为：false．
8．考点：计数原理的应用
【解析】当false时，第一个手势有12种，第二个手势有11种，第三个手势有11，共计false种；
当false时，共计false种；当false时，共计false种；当false时，共计false种；当false时，共计false种．
9．考点：饼图中的数据分析
【解析】由题意，不妨设2015年全国居民人均消费支出为false，则2020年全国居民人均消费支出为false，而false，故A正确；由图可知2020年全国人均衣食行支出为false，而2015年全国人均衣食行支出为false，故B错误；2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为false，而2015年除衣食行外的全国人均其他支出金额总和为false，故C正确：D显然正确．
10．考点：基本不等式的应用
【解析】对于A，若false（当且仅当false取“false”），又由false，故A错；由false且false，∴false，故B正确；C由false，当且仅当false时取“false”，故C正确；D由false，且false、false为正数，∴false，即false，故D正确．
11．考点：截面问题
【解析】如图所示：
12．考点：复数新概念、对数运算、平面向量的数量积运算、两角差的余弦公式
【解析】∵false，∴false，
∵false，∴false．
∵false对应的向量坐标为false，false对应的向量坐标为false，∴false，即false，又false，false，∴false，或false．
∵false，复数false，两者对应向量坐标为false、false，∴两向量垂直．
三、填空题
13．考点：诱导公式、同角三角函数的关系、正弦二倍角公式
false【解析】由false，得false，又false，所以false，
所以false．
14．考点：利用导数求函数的最值及切线方程
false 【解析】因为false，当false时false，所以false在false上单调递增，所以false，又false，所以切线方程为false．
15．考点：函数的奇偶性及单调性
【解析】答案不唯 false．
16．考点：直线与圆锥曲线的位置关系
false，false 【解析】依题意得直线方程为false，设点false，false，false；设直线false的方程为false，
带入抛物线方程得false，则false，则false，
∵直线false与该圆相切，∴false，即false，又false，false，∴false， ∵false，false，∴分别过false，false的圆的切线的斜率为false，false，∴false，∴false，∴false，∵false，∴false，所以false的取值范围为false．
四、解答题
17．考点：正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式
【解析】（1）因为false，由正弦定理得false，
又false，则false，即false，
又false，所以false，false．
（2）由余弦定理得false，
所以false，当false时false，
所以false．
18．考点：等差等比数列的定义、求数列的通项及前false项和
【解析】（1）因为false，false，所以false为等差数列，
又false，false，所以false．
所以false．
（2）因为false，则false，
两式相减得false，即false，
又false，false，所以false，所以false．
所以false为以1为首项4为公比的等比数列，所以false．
所以false，
所以false．
19．【解析】（1）证明；由false，得false，即false．
∵false底面false，∴false，又false，且false，false，false平面false，
∴false平面false，即false平面false．
（2）由false底面false，得false与底面false所成角即为false，∴false，不妨设false，则false，false，false，以false为原点，以false所在直线为false轴，以false所在直线为false轴，以false所在直线为false轴，建立如图所示空间直角坐标系，
有false，false，false，false，
∴false，false．
设平面false的一个法向量为false，
则false令false，则false，
∴false．
又false平面false，而false，
∴平面false的一个法向量false，false，
由图可知该二面角为锐二面角，则二面角false的余弦值为false．
20．考点：统计图表与随机变量分布列问题
【解析】（1）平均值false，
∵false且false，
∴设中位数为false，则false，解得false；所以中位数约为145．
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件false，则false，
依据题意得，false的可能取值为3，4，5，
false，
false，
false．
随机变量false的分布列为：
false
3
4
5
false
false
false
false
false．
21．【解析】（1）false
则false，false，false．
所以双曲线false的标准方程为：false．
（2）设false点坐标为false，过false与渐近线平行的直线分别为false，false，
方程分别为false，false，
联立方程：false，得false同理可得：false
得false
又渐近线方程为false，则false，
false，
又点false在双曲线上，则false，
所以false，即平行四边形false的面积为定值，且此定值为false．
22．考点：利用导数求恒成立问题
【解析】由题意可知，false的定义域为false，false．
令false，可得false．
令false，则由题意可知false与函数false的图象有两个不同的交点．
false，令false得false，
可知false在false上单调递增，在false上单调递减．
所以false，
又当false时，false，当false时，false，
所以false，false．
（2）当false时，false.
由false得false，
因为false，所以false．
设false，则false．
令false，则false，
所以false在false上单调递增，
又false，false，
所以false在false上有唯一的零点false，即false，
当false时，false，即false，
当false时，false，即false，
所以false，
所以false，又false，
所以false，又false，所以false的最大值为2．