湖南省临澧县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

临澧县2021年上学期 期考 高一数学 试题
时量：120分钟 总分：150分
一?选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面向上”，设事件 “第二枚硬币正面向上”，则　　
A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件
C．事件与事件相等 D．事件与相互独立
3．在中，，，，则　　
A．或 B． C．或 D．
4．在中，为边上的中线，为的中点，则　　
A． B． C． D．
5．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱锥的体积为　　
A． B．
C． D．
6．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日日均值（单位：的统计数据，则下列叙述不正确
的是　　
A．从5日到9日，日均值逐渐降低
B．这10天的日均值的中位数是45
C．这10天中日均值的平均数是49.3
D．从这10天的日均数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
7．在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是　　
A． B． C． D．
8．已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则　　
A．若，，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
二?多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是　　
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
10．设为虚数单位，复数，则下列命题正确的是　　
A．若为纯虚数，则实数的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是
C．实数是为的共轭复数）的充要条件
D．若，则实数的值为2
11．在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是　　
A．
B．
C．若点是线段上的动点，且满足，则
D．若所在平面内一点满足， 则点的轨迹一定通过的内心
12．如图，点是正方体的侧面上的
一个动点，则下列结论正确的是　　
A．点存在无数个位置满足
B．若正方体的棱长为1，则三棱锥体积的最大值为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．点存在无数个位置满足平面
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知数据，，，，的平均数为10，方差为2，
则数据,?,?,?的平均数为 ，方差为 ．
14．已知，，则在方向上的投影为 ．
15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．
从点测得点的仰角，点的仰角以
及；从点测得．已知山高，
则山高 ．
16．如图，在正方体中，点为线段的中点，
设点在线段上，直线与平面所成的角为，
则的最小值 ，最大值 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分） 已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
18．（本小题满分12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值； （2）若，，求外接圆的面积．
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，
底面是矩形，平面，过的平面
分别与，交于点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
20．（本小题满分12分） 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比
赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得
比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，
甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．（本小题满分12分） 由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
质量指标值




产品等级




为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图（设“”）时，发现满足：，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件级品的概率；
（3）求样本质量指标值的平均数（各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）．
22．（本小题满分12分） 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面．
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空： ，
则三棱锥为“鳖臑”．
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，．
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）设平面与平面的交线为，若，，
求二面角的大小．
临澧县2021年上学期 期考 高一数学 试题
参 考 答 案（仅供参考，敬请校对后使用）
1~8 BDBA ABBC 9．ACD 10．ACD 11．BCD 12．ABD
13． 19 ， 8
14．

15．150
16．， 1

17．（1）由，得，解得，
由，得，解得，
，；
（2）因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为．
18．（1）的内角，，的对边分别为，，，且满足，
整理得：，
利用正弦定理的应用，整理得，所以．
（2）由于，，又 ，
所以由余弦定理：，可得，
由正弦定理可得，
可得外接圆的面积．
19．（1）证明：由是矩形，所以，
由平面，所以，又交于
平面
（2）证明：由，得平面，平面交平面于，
．
20．（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则表示“甲赢得比赛”， ，
表示“乙赢得比赛“，，
，派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”，
由（1）知，，
表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
．
21．（1）根据题意，，，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，，，，，，，，，，，．
因为，由，，所以，15，16，17，18，19，
每个小区间对应的频率值分别是
所以，解得．
（2）由（1）中的数据，得，的频率为；
，的频率为；
，的频率为，
利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，
，的有4件，分别记作，，，；
，的有3件，分别记作，，，
从抽取的7件产品中任取2件产品，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以．
记事件 “随机抽取的2件产品中至少有一件级品“，
则，，，，，，，，，，，，，，
所以（A），
由古典概型公式，得（A）．
（3），的概率为，，的概率为，
，的概率为， ，的概率为0.4，
，的概率为0.2， ，的概率为0.1，
．
22．（1）由题意，四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，而平面，
要使三棱锥为“鳖臑”，
则只需或或或；
（2）证明：平面，平面，，
又，即，，，平面，
平面，又平面，，
又，，，平面，平面，
又平面，，又，，
平面，又平面，平面平面；
由题意知，在平面中，直线与直线相交，如图所示，
设，连接，则即为，
平面，平面，，
平面，平面，，
又，，平面，
平面，
又，平面，，，
即为二面角的一个平面角，
在中，，，，
又，，，
，即二面角的大小为．