1108710011582400三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体
2021年上学期高二期末考试
数学
本试卷共4页,22题,考试用时120分钟,试卷满分150分
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合false,false,则false
A.false B.false C.false D.false
2.已知false,则false
A.false B.1 C.false D.false
3.当生物体死亡后,它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析,发现碳14含量衰减为原来的67.90%,则该遗址距今约( )年.(参考数据:false)
A.3000 B.3100 C.3200 D.3300
4.已知false,则false
A.false B.false C.false D.false
5.已知false,false,false,则
A.false B.false C.false D.false
6.为庆祝建党一百周年,长沙市文史馆举办“学党史,传承红色文化”的主题活动,某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者,利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲、乙两个展区,若要求每个展区至少要派3名志愿者,每个志愿者必须到两个展区中的一个工作,且女志愿者不能单独去某个展区工作,则不同的选派方案种数为
A.252 B.250 C.182 D.180
7.在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球,设过球心的截面的面积为false,不过球心的任意非圆面的截面的面积为false,则
A.false B.false
C.false D.false、false的大小关系不定
8.若A是圆C所在平面内的一定点,Р是圆C上的一动点,线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹不可能是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.下列关于函数false的结论正确的是
A.函数false是偶函数 B.函数false的最大值为2
C.函数false在false单调递增 D.函数false的最小正周期是false
10.已知正三棱锥false中,false为false的中点,false,false,则
A.false B.false
C.该三棱锥的体积是false D.该三棱锥的外接球的表面积是false
11.已知直线false与false:false相交于A、B两点,若false为钝角三角形,则满足条件的实数a的值可能是
A.false B.1 C.2 D.3
12.设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数,Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,则
A.当false时,false
B.当false时,false
C.当false(false且false)时,false
D.当false(false目false)时,false
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设等差数列false的前false项和为false,false,false,则false的最小值为_________.
14.宽与长的比为false的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形false中,false,false,那么false的值为_________.
15.已知抛物线false的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且false,则false_________.
16.2020年底,我国已正式对外宣布,实现了全面脱贫的伟大胜利.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形false的半径为10,false,false,false,则false____________(用false表示);据调研发现,
当OP最长时该奖杯比较美观,此时false的值为__________________.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列false的前false项和false,令false,false.
(1)求false、false的通项公式;
(2)数列false中去掉数列false中的项,剩下的项按原来顺序排成新数列false,求false的值.
18.如图,在平面四边形false中,false,false,false,false,false,求四边形false的面积.
19.为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如下:
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
false
(1)求false,false;
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,现从该校随机调查60名学生,记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X,求X的数学期望.
附:
false
0.050
0.010
0.001
false
3.841
6.635
10.828
false
20.如图所示,在三棱柱false中,底面false是正三角形,侧面false是菱形,点false在平面false的射影为线段false的中点false,过点false,B,D的平面false与棱false交于点false.
(1)证明:四边形false是矩形;
(2)求二面角false的余弦值.
21.双曲线C的中心在原点O,焦点在false轴上,且焦点到其渐近线false的距离为⒉
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点false的直线false与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.
(ⅰ)证明:false;
(ⅱ)是否存在这样的直线false,使得false,若存在,求出直线false的方程;若不存在,请说明理由.
22.已知函数false(其中false是自然对数的底数),曲线false在点false处的切线方程是false.
(1)求false,false;
(2)设函数false,若false在false上恒成立,求false的取值范围.
三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体
2021年上学期高二期末考试
数学参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.B
3.C【解析】设生物体死亡后,碳14每年衰减为原来的false,依题意,有false,false的;设距今约false年,碳14衰减为原来的false,结合参考数据:false,可得false.
4.C【解析】利用同角三角函数的基本关系可解得:
false或false,再由二倍角公式得false.
5.A【解析】由对数运算公式得,false,false,false,易知false,故false.
6.D【解析】因为每个展区至少要派3人,则两个展区中派遣的人数分别为3、5或4、4,又因为3名女志愿者不能单独成一组,则不同的派遣方案种数为false.
另法:false.
7.A【解析】设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为false,则该截面的面积
false,而过球心的截面的面积false,故选A.
8.D【解析】设圆false的半径为false,
(1)若点A在圆C内不同于点C处,如图(1)所示,则有false,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,所以B正确;
(2)若点A与C重合,则有false,故点Q的轨迹是以C为圆心,false为半径的圆,所以A正确;
(3)若点A在圆C上,如图(3)所示,则由垂径定理,线段AP的垂直平分线必过点C,故Q与C重合,故点Q的轨迹是一个点;
(4)若点A在圆C外,如图(4)所示,
则false,
所以false,故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支,当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时,Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支,所以C正确;故选D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.AC【解析】作出函数false的图像如下:
由图像易知,选项AC正确.
10.ABD【解析】作AC中点,连接PN,BN,则易证false平面PBN,
所以false,又false,
所以false平面false,所以false,false,
又三棱锥false为正三棱锥,false,且false
在false中,由勾股定理解得false,故三棱锥的体积为false,其外接球半径为false,外接球表面积为false.故选ABD.
11.ACD【解析】圆C的圆心为false,半径为false,由于false为等腰三角形,若该三角形为钝角三角形,则false,设圆心C到直线l的距离为d,则false,
则false,整理可得false,解得false,
因为直线l不过圆心C,则false,解得false.所以false.故选ACD.
12.ACD【解析】对A,当false时,false,故A正确;
对B,当false时,∵false,则由false可得false,false或false,false,
∴false,故B错误
对C,当false(false且false)时,则false,故C正确;
对D,false,所以D正确,故选ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.【答案】-3
【解析】易得false,
当false或3时,false
14.【答案】1
15.【答案】false
【解析】设过false的直线方程为false,false,false,
则联立方程得
false,false,false,false
false,false,所以false,故false,false
16.【答案】false,false
【解析】作false交QP于M,交AB于C,且false,则false,则false,false.
设false,作false交AB于E,false交AB于F,因为false,所以false,false,false,所以false,
所以false,即false.
所以false,
所以false
false,
因为false,所以当false,即false时,false最大,故答案为false.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解:(1)当false时,false,
又false也适合上式,
所以false,false.
false.
(2)由(Ⅰ)知false,
所以false,false.
由此可知false.
18.解:设false.
在false中,由正弦定理得,false,即false,
在false中,同理有,false,即false
从而有false,化简得false,
因此有false,∴false.
于是知四边形false是由边长为2的正false和腰长为2,顶角false的等腰false构成,所以四边形false的面积为false.
解法二:过false作false,false分别交AB、BC于E、F两点,
∵false,在false中,false
∴false,
在矩形false中,∴false,∴false,∴false是false的中点,
在false,∵false,所以false为等边三角形,·
∴false
在false中,由等面积法可以得到false,
∴false
∴false
19.解:(1)由已知,该校有女生400人,故false,得false,从而false.
(2)作出列联表如下:
超过1小时的人数
不超过1小时的人数
合计
男
20
8
28
女
12
8
20
合计
32
16
48
false.
所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.
(3)根据以上数据,学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率false,所以false,且false,false.
故false的数学期望false.
20.解:(1)连接false,false.
在三棱柱false中,侧面false为平行四边形,所以false.
因为false平面false,false平面false,
所以false平面false.
因为false平面false,且平面false平面false,
所以false,因此false.
因为点D是AC的中点,所以E为false中点,所以false,
所以四边形false为平行四边形.
在正false中,因为D是AC的中点,所以false.
由题可知false平面false,所以false,false.
因为false,所以false平面false,
于是false,故四边形false为矩形.
(2)由(1)知false,false,false两两垂直,以false,false,false所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系false.设false,则false.
在false中,false,false,所以false.
于是false,false,false,false,false,false,false.
设平面false的法向量为false,
由false得false
取false.
设平面false的法向量为false,
由false得false
取false.
设二面角false的大小为false,由图知false,
则false.
故所求二面角false的余弦值为false.
21.解:(1)设双曲线false,
易得焦点false到渐近线的距离为false,故false,
又false,所以false,
故所求双曲线false的方程为false.
(2)(ⅰ)设过点false的直线false,联立false,
消去false,整理得:false,false,false.
设false,false,false,false.
当false时,false,即false中点横坐标为false,
当false时,false,即false中点横坐标为false,
故线段false,false的中点重合,所以false.
(ⅱ)由(ⅰ)false,false,false,所以
false,
false.
又false,所以false,满足false,
故存在这样的直线false.
22.解:(1)false,false,false.
(2)false,整理得false.
记false,只需false.
而false.
令false,则false,故false在false单调递增.
又false,false,由零点存在性定理可知,存在唯一false,使false.
当false时,false,false,false单调递减;
当false时,false,false,false单调递增;
所以false.
由false得false,所以false,
所以false,即false,
故false,且false,
所以false,
故所求false的取值范围false.
方法二:证明:false
证明:构造函数false,∴false,
令false,所以函数false在false单调递增,
令false,所以函数false在false单调递减.
所以函数false
∴false,即∴false
∴false,∵false
∴false
∴false
由false在false上恒成立,
故false恒成立.
所以false,故false.