湖南省长沙市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

长沙市2020—2021学年度高一第二学期期末考试
数 学
时量：120分钟 满分：100分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．复数false（false为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
3．已知直线false，两个不同的平面false，false，下列命题正确的是（ ）
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false/，则false D．若false，false，则false
4．下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
5．若在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，false，false，则false（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对
6．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）

A．false B．false C．false D．false
7．已知圆锥的顶点为false，底面圆心为false，若过直线false的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．若数据false，false，…，false的平均数为4，标准差为1，则false，false，…，false的平均数和标准差分别为（ ）
A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，3
9．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知正三角形false的边长为3，false，false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知三棱锥false中，底面false是边长为false的正三角形，侧面false底面false，且false，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．false中，false，false，false，点false为false的外心，若false，则实数false的值为（ ）
A．7 B．false C．false D．false
二、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
13．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球．这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ）
A．“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”
B．“恰有1个黑球”和“至少1个白球”
C．“至少1个黑球”和“至多1个白球”
D．“至少1个黑球”和“全是白球”
14．设false，false是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若|false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
15．如图1，在边长为2的正方形false中，false，false，false分别为false，false，false的中点，沿false、false及false把这个正方形折成一个四面体，使得false、false、false三点重合于false，得到四面体false（如图2）．下列结论正确的是（ ）

A．四面体false的外接球体积为false
B，顶点false在面false上的射影为false的重心
C．false与面false所成角的正切值为false
D．过点false的平面截四面体false的外接球所得截面圆的面积的取值范围是false
三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
16．已知复数false，false，false（false为虚数单位），且false，则false______。
17．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学投篮一次命中的概率为false，乙同学投篮一次命中的概率为false，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______。
18．如图所示是-一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为______。

19．若平面向量false，false，false两两夹角相等，且false，false，false，则false______．
20．已知false，false，false分别为false的三个内角false，false，false的对边，且false，点false在边false上，且false，false，则false的面积最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．
（本小题满分8分）
现有某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以false，false，false，false，false，false，false分组的频率分布直方图如图所示．

（1）确定直方图中false的值，并求月平均用电量的众数和中位数；
（2）在月平均用电量为false，false，false，false的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在false内的用户中应抽取多少户？
22．（本小题满分8分）
如图，已知三棱锥false，false，false，false，false，false为false的中点，且false为正三角形．
（1）求证：false平面false；
（2）求三棱锥false的体积．

23．（本小题满分8分）
false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，向量false与falsefalse垂直．
（1）求false的值；
（2）若false，求false的面积false的最大值．
24．（本小题满分8分）
近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“false”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定false、false、false、false、false五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图、地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．

（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；
（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；
（3）若小张必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小张考试选考科目包含地理的概率．
25．（本小题满分8分）
如图，在四棱锥false中，false为正三角形，底面false为直角梯形，false，false，false，false，点false，false分别在线段false和false上，且false．
（1）求证：false平面false；
（2）设二面角false的大小为false，若false，求直线false和平面false所成角的正弦值．


长沙市2020—2021学年度高一第二学期期末考试
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
C
A
B
C
C
D
D
C
A
B
A
AD
ABC
ACD
一、二、选择题
4．B 【解析】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D错误．故选B．
5．C 【解析】由正弦定理可得false，∴false．
∵false，∴false．∵false，∴false或135°．故选C．
6．C 【解析】因为水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，如图所示：

其中false，false，
由斜二测画法知，原平面图形是一个直角梯形，如图所示：

则false，false，false，
所以原平面图形的面积是false，故选C．
7．D 【解析】设圆锥的母线长为false，则false，得false，即母线长为4，
设圆锥的底面半径为false，false，解得false，即圆锥底面圆的半径为false，
则圆锥的侧面积为false．故选D．
8．D 【解析】∵false，false，…，false的平均数为false，方差为false，标准差为false，
∴false，false，…，false的平均数为false，即为17．
方差false
false，
∴标准差false．故选D．
9．C 【解析】穷举法，取出3条线段的情况有false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共10种，可构成三角形的有false，false，false，false，false，false，false，共7种，只有false不构成钝角三角形，故概率false．
10．A 【解析】：正三角形false的边长为3，false，false，false，

∴false，false，false，false，false，false，
∵false，
false，
∴false
false．故选A．．
11．B 【解析】如图，设底面正三角形的外心为false，侧面三角形false的外心为false，外接球的半径为false，
过false作底面垂线，过false作侧面false的垂线，相交于false，

则false为三棱锥false的外接球的球心，
由已知可得false，
false，
设三角形false的外接圆的半径为false，则false，即false．
在false中，可得false，
∴该几何体的外接球的表面积为false．故选B，
12．A 【解析】false中，false，false，false，
则false，
∵false，∴false
又∵false，
同理可得：false，代入上式，
∴false解得：false
false．故选A．
13．AD 【解析】从口袋中摸出3个球，
对于A项，“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”，不可同时发生，是互斥事件．
对于B项，“恰有1个黑球”和“至少1个白球”，若恰好1个黑球和2个白球，
则两个事件同时发生，所以不是互斥事件．
对于C项，“至少1个黑球”和“至多1个白球”，若恰好2个黑球和1个白球，
则两个事件同时发生，所以不是互斥事件．
对于D项，“至少1个黑球”和“全是白球”，不可同时发生，是互斥事件．故选AD．．
14．ABC 【解析】对于A，若false，则false，false，所以false为真；
对于B，若false，则false和false互为共轭复数，所以false为真；
对于C，设false，false，false，false，false，false，
若false，则false，即false，
所以false，所以false为真；
对于D，若false，false，则false，而false，false，所以false为假．故选ABC．
15．ACD 【解析】对于A项，易知false、false、false两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长false，外接球半径false，故外接球体积为false，故A项正确；
对于B项，由于false、false、false两两垂直，故false在面false上的射影为false的垂心，故B项错误；
对于C项，设false为false中点，则false，false，false，

故false平面false，故平面false平面false，所以false在平面false上的射影为false，
false与平面false所成角为false，false，false，false，false，故C项正确；
对于D项，设false为四面体false的外接球球心，false平面false，连接false，false，

当过点false的截面经过球心false时截面圆面积最大，面积为false；
当false垂直截面圆时，截面圆面积最小，
此时false，false，false，
false，截面圆面积为false，
得截面圆面积取值范围是false，D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
16．false 【解析】false，故false．
17．false 【解析】两个都不命中的概率为false，故至少有一人命中的概率是false．
18．10.5 【解析】由图可知第一组的频率为false，
前两组的频率之和为false，
则可知其25%分位数在false内，设为false，
则false，解得false．
19．2或5 【解析】当false，false，false两两夹角为false时，false；
当false，false，false两两夹角为0时，false．
20．false 【解析】因为false，所以false，
即false，所以false．
因为false，解得false．
因为false，故false，
所以false
false，
由基本不等式可得，false，
当且仅当false，false时，等号成立，即false的最大值为false，
所以false．
四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．【解析】（1）因为false，所以false；
由频率分布直方图可知：false对应的频数最大，所以众数为230度；
因为前三组频率之和为false，
第四组频率为false，且false，
所以中位数在第四组数据中，设中位数为false度，
所以false．
（2）因为false，false，false，false的频率之比为
false，
所以月平均用电量在false内的用户中应抽取：false户，
答：月平均用电量在false内的用户中应抽取5户．
22．【解析】（1）∵false为false的中点且false为正三角形，
∴false，又∵false，false，
∴false平面false，∴false，
又false，且false，
∴false平面false．
（2）由（1）得false，
false，
false平面false，且false，
false,
由false为false的中点，所以false．
23．【解析】（1）∵false与false垂直，
∴false，
即false，
根据正弦定理得false，
由余弦定理得false．
∵false是false的内角，∴false．
（2）由（1）知false，∴false．
又∵false，∴false．
∵false的面积false，
∴false的面积false的最大值为4．
24．【解析】（1）∵此次考试历史成绩落在false，false内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%，
∴小明历史成绩的最后得分为90分，
（2）40名学生中，地理赋分为90分有false人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有false人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78，
∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分，
∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．
（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为false、false、false、false、false，
∴小张从这五科中任选两科的所有可能选法有false，false，false，false，false，false，false，false，false，false共10种，
而其中包含地理的有false，false，false，false共4种，
∴小张选考科目包含地理的概率为：false．
25．【解析】（1）证明：连接false，交false于点false，连接false，
因为false，false，所以false，false，
因为false，所以false，
false，所以false，
因为false平面false，false平面false，所以false平面false．
（2）取false中点false，连接false、false，

因为false为正三角形，所以false，false，
因为false为直角梯形，false，false，false，所以四边形false为矩形，
所以false，因为false，所以false平面false，所以平面false平面false，
所以false为二面角false的平面角，
所以false，设false，由余弦定理得false，
于是false，整理得false，解得false或false（舍去），
过点false作false交false于点false，
因为false，false平面false，所以false平面false，又false平面false，所以平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，
所以false为点false到平面false的距离，
因为false，false平面false，false平面false，所以false平面false，
所以false也为点false到平面false的距离，
因为false，所以false，
所以false，
即false，解得false，由false
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false．