宁夏吴忠高级中学校2020-2021学年高二下学期第二次阶段性质量检测（6月）数学（理科）试题 Word版含答案

吴忠中学2020-2021下学期第二次阶段性质量检测
高二数学（理科）
2021.06
一．选择题(本题共12道小题，每小题5分,共60分)
1．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是 (　　)
A．第9项　 B．第7项 C．第8项　 D．第10项
3.“三段论”是演绎推理的一般模式，下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）
①矩形是平行四边形； ②矩形对角线互相平分； ③平行四边形对角线互相平分．
A.③②① B．①③② C．③①② D．②①③
4.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.
A.21 B.22
C.20 D.23
5.下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种（ ）
A．60 B．150 C．96 D．72
7．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝ 所围成的平面区域的面积为(　　)
A． (sin x－cos x)dx B． 2 (sin x－cos x)dx
C． (cos x－sin x)dx D．2 (cos x－sin x)dx
8.的展开式中的系数为( )
A． B．40 C．-40 D．80
9．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
10.抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于(　　)
A. 2 B. C. D. 3
11.已知下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）个
若复数，满足 ，则 ；
若复数，满足 ，则 ；
若复数满足 ，则是纯虚数；
若复数满足 ，则是实数.
A.1 B.2 C.3 D.4
12．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
14.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式为　　　　　　　.?
15. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，则的坐标为___________.
16. 在等差数列 中，若则有
成立.在等比数列中，若 类比上述性质，得到的等式为　　　　　　　.?
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）设等比数列 满足，．
（1）求 的通项公式；
（2）记为数列 的前n项和．若，求m．
（本小题12分）
（1）求证：；
（2）画出由y=x-4，曲线 以及x轴围成的图形，用阴影部分表示并计算其面积S.（用中性笔画在答题卡上）
19.（本小题12分）已知曲线C上任意一点到点 的距离与到直线 的距离相等，在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
(1)求直线l与曲线C的普通方程；
(2)已知直线l与曲线C交于A、B两点，求

20.（本小题12分）请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
21.（本小题12分）已知函数
（1）当时，求在 上的单调区间；
（2）当 时，讨论在 上的零点个数.
（本小题12分）
设椭圆 的离心率为，圆 与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点做圆的的切线交椭圆C于点M,N，求证:以MN为直径的圆过点O.
吴忠中学2020-2021下学期第二次阶段性质量检测
高二数学（理科）答案
选择题(本题共12道小题，每小题5分,共60分)
DACBC BDBAB BC
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
y=2x 14. 1＋＋<2 15.
16.
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，所以；
（2）令， 所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
18.证明：(1)要证，
只要证，
只要证，
只要证
只要证，
因为最后一个不等式显然成立，故原命题得证；
（2）见2-2 P57例2
19.（1）由已知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其标准方程为

即直线的普通方程为 ......5分
（2）点在直线上，则直线的参数方程为，代入得
，设点对应的参数分别为，则
......10分
20.解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得，a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
21、【解析】（1)当时，，.
.
当在区间上变化时，，的变化如下表




0




+ 0 - 0 + 0 -
-1 增 极大值 减 极小值1 增 极大值 减 -1
∴的单调增区间为，；的单调减区间为，.
[此小题也可先证明是偶函数再根据对称性得结论]
(2)，.
当时，在上恒成立，
∴时，.
∴在上单调递增.
又∵，∴在上没有零点.
当时，令，得.
由可知存在唯一使得.
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵， ，.
22、（1)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，点在椭圆上，∴，
解得∴椭圆的方程为.
（Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由（Ⅰ）知，
，，
，，，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，
，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，，
∴，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，都有.