山东省济南市2020-2021学年高一下学期期末学情检测数学试题 Word版含答案

济南市10452100121920002021年7月高一期末学情检测
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数false（i是虚数单位）是纯虚数，则实数false（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6，7，7，8，9，8，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
3．甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排尾” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
4．在false中，若点false满足false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（ ）
A．众数为2 B．平均数为2.5 C．方差为1.6 D．标准差为4
6．在正方体false中，false为棱false的中点，则异面直线false与false所成角的正弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率false．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
据此估计false的值为（ ）
A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75
8．如图①所示，在平面四边形false中，false，false，false，false．现将false沿false折起，并连接false，如图②，只当三棱锥false的体积最大时，其外接球的体积为（ ）

A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾的投放质量
400
200
100
可回收物的投放质量
30
140
30
其他垃圾的投放质量
20
20
60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（ ）
A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为false
B．“可回收物”投放错误的概率约为false
C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低
D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高
10．若平面向量false，false，false两两的夹角相等，且false，false，false，则false
A．false B．3 C．5 D．6
11．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一和高二年级每周在校体育锻炼时长进行了统计，得到数据（单位：小时）如下：
高一年级在校体育锻炼时长
分组
频率
false
0.25
false
0.30
false
0.20
false
0.25

关于高一和高二年级在校体育锻炼时长，下列说法正确的是（ ）
A．高一年级时长的众数比高二年级的大 B．高一年级时长的平均数比高二年级的小
C．高一年级时长的中位数比高二年级的大 D．高一年级时长的方差比高二年级的大
12．已知圆锥的顶点为false，底面半径为false，高为1，false，false是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积是false B．false与底面所成的角是false
C．false面积的最大值是false D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为______．
14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是false，false，则该密码被成功破译的概率为______．
15．若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为false，则该圆台的体积为______．
16．在平面四边形false中，false，false，false，false，false交false于点false，若false，则false的值为______，false的长为______．（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面直角坐标系false中，设与false轴、false轴方向相同的两个单位向量分别为false和false，false，false．
（1）求向量false与false夹角的余弦值；
（2）若点false是线段false的中点，且向量false与false垂直，求实数false的值．
18．（12分）一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数false表示为false个正整数的和，叫做正整数false的false拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数false的无序false拆分。例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．
（1）写出9的所有无序2拆分；
（2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为false的三边长”的概率。
19．（12分）如图，在直四棱柱false中，底面false为菱形，false，false分别为false，false的中点．

（1）求证：平面false平面false；
（2）求证：false平面false．
20．（12分）在false中，三个角false，false，false所对的边分别是false，false，false，且false．
（1）求false；
（2）若false，false的面积为false，求false的周长．
21．（12分）
2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为学生组织了系列学党史活动．为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了1名同学进行党史知识测试，满分100分，并将这false名同学的测试成绩按false，false，false，false，false分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．已知测试成绩在false的学生为70人．

（1）求false的值及频率分布直方图中false的值；
（2）为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下该学生的成绩至少达到多少分；
（3）学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于80分，只需发放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习．请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党史知识大讲堂，并说明理由．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广。刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形false为正方形，四边形false，false为两个全等的等腰梯形，false，false，false，false．

（1）求二面角false的大小；
（2）求三棱锥false的体积；
（3）点false在直线false上，满足false（false），在直线false上是否存在点false，使false平面false？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由．

高中一年级学情诊断考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1~4．ABCA 5~8．CDBC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AC 10．AD 11．BD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．9 14．false 15．false
16．false，false（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）【解析】方法一：
（1）由已知得false，false，
所以：false，false，false，
所以所求余弦值为false．
（2）因为false，false，
而向量false与向量有false垂直，
所以false，
所以false．
所以false，
解得false．
方法二：
（1）因为false，false，
所以false，false，false，
所以所求余弦值为false．
（2）false，false，
因为向量false与向量false垂直，
所以false，
又false
false
false
false，
所以false，
所以false．
18．（12分）
【解析】（1）9的所有无序2拆分为：{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，共4个。
（2）9的所有无序3拆分为：
{1，1，7}，{1，2，6），{1，3，5}，{1，4，4}，{2，2，5}，{2，3，4}，{3，3，3}，共7个。
把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用false表示“所取拆分中的3个数可以作为false的三边长”，则false中含有{1，4，4}，{2，3，4}和{3，3，3}，共3个样本点．
由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为false的三边长”的概率false．
19．（12分）
【解析】（1）因为底面false为菱形，所以false．

因为四棱柱为直四棱柱，所以false平面false．
因为false平面false，
所以false．
因为false，
所以false平面false．
因为false平面false，
所以平面false平面false．
（2）方法一：
设false交false于点false，连接false，false．

因为底面false为菱形，
所以false为false中点．
因为false为false中点，
所以false，false．
又因为false为false的中点，false，false，
所以false，false，
所以false，false，
所以四边形false为平行四边形，所以false．
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
方法二：
连接false交false于点false．

因为底面false为菱形，
所以false为false中点．
因为false为false点，所以false，false．
因为false为false中点，false，false，
所以false，false，
所以false，false，
所以四边形false为平行四边形，
所以false．
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
方法三：
取false中点false，连接false，false．

因为false为false中点，
所以false．
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
因为false，false，false为false中点，
所以四边形false为平行四边形，
所以false．
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
因为false，
所以平面false平面false．
因为false平面false，
所以false平面false．
20．（12分）
【解析】（1）方法一：
由正弦定理知，已知条件可化为false，
又在false中false，
所以false，因为false，所以false，
又因为false，所以false．
方法二：
由余弦定理得false，
所以false即false，
由余弦定理得false，
因为false，所以false．
（2）方法一：
因为false，
所以false，得false，
由false知，false，
所以false，false，
所以false的周长为false．
方法二：
因为false，
所以false，得false，
由正弦定理得false，
所以false，false，
所以false，false，
所以false的周长为false．
21．（12分）
【解析】（1）由已知条件可得false，
由频率和为1得false，
解得false．
（2）方法一：
因为false，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，
因为false，
false，
所以第60百分位数在区间false内，
设该生得分最低为false，则false，
解得false，所以估计该生的得分至少达到86分。
方法二：
因为false，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，
因为false，
false，
所以第60百分位数在区间false内，
则第60百分位数为false（或写成false），
所以估计该生的得分至少达到86分。
（3）由频率分布直方图可得
false，
因为false，
所以按照学校的预案，只需要发放学习资料即可。
22．（12分）
【解析】（1）过点false分别作false，false，分别交false，false于false，false，连接false，

则false为二面角false的平面角，
因为四边形false为正方形，false，
所以false，false，
由已知得false，
所以false．
（2）过点false作false，垂足为false．

因为false，false平面false，false平面false，
所以false平面false．
因为false，false，
所以false．
因为false，
所以false平面false．
因为false平面false，
所以false．
因为false，false，false平面false，
所以false平面false，
所以false为三棱锥false的高，false．
因为false，
所以false．
（3）方法一：
假设存在点false．
①当点false在线段false上时，连接false交false于false，

则false，
所以false．
因为false平面false，false平面false，
平面false平面false，
所以false，
所以false．
②当点false在false延长线上时，连接false交false于false，

则false，
所以false．
因为false平面false，false平面false，
平面false平面false，
所以false，
所以false．
综上，在直线false上存在点false，使false平面false，false的值为false或false．
方法二：
当点false在线段false上时，过点false作false交false于false，连接false，过点false作false交false于点false，
因为false，
所以平面false平面false．
因为false平面false，
所以false平面false．
因为false平面false，平面false平面false，
所以false．
因为false，false，
所以false，
所以false，
所以false，
所以false．
当点false在线段false延长线上时，过点false作false交false于false，连接false，过点false作false交false于点false．
因为false，
所以平面false平面false．
因为false平面false，
所以false平面false．
因为false平面false，平面false平面false，
所以false．
因为false，false，
所以false，
所以false，
所以false．
所以false．
综上，在false上存在点false使得false平面false，此时false或false．