江苏省南通市第三中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．计算 ▲ ．
2． 5个人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾的不同排列方法种数为 ▲ ．(用数字作答)
3．用反证法证明命题“都是整数，且能被5整除，那么和中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为 ▲ ．
4．复数的虚部是 ▲ ．
5．用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证的不等式是 ▲ ．
6．函数的单调增区间为 ▲ ．
7．若直线与曲线相切于点，则 ▲ ．
8．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为 ▲ ． (用数字作答)
9．已知函数的导函数为,且满足,则= ▲ ．
10．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为M，m，则= ▲ .
11．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 ▲ ．(用数字作答)
12．已知为定义在R上的偶函数，在时恒成立，且，则不等式的解集为 ▲ ．
13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则＝ ▲ .
14．已知虚数满足，则的取值范围是 ▲ ．
二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分14分）
已知复数当实数取什么值时，复数是：
（1）零；（２）纯虚数；　（３）
16．(本小题满分14分)
求证： ;
17．（本题满分15分）
已知函数的图象过点P,且在点M处的切线方程为.
(1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间.
18．（本题满分15分）
设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
19．（本题满分16分）
已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
20．（本题满分16分）
已知．
（1）求函数的图像在处的切线方程；
（2）设实数，求函数在上的最大值.
（3）证明对一切，都有成立．
高二数学（理科）答案
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1． 1 2． 72 3． 和都不能被5整除 4．
5． 6． 7．4 8． 120
9． 16 10. 25 11． 420 12．
13． 11 14． [7，13] ．
16．(本小题满分14分)
求证： ;
证明： ∵,
,
; ……………………………9分
将此三式相加得
2,
∴……………………………14分
18．（本题满分15分）
设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即……………………………5分
解得，．……………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．……………………………10分
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．……………………………12分
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为……………………………15分
19．（本题满分16分）
已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
解： (1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－ ……………………5分
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；……………………………………8分
②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－, ………………………………10分
当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－,
即当n＝k＋1时,命题成立. ………………………15分
根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立 ………16分
20．（本题满分16分）
已知．
（1）求函数的图像在处的切线方程；
（2）设实数，求函数在上的最大值.
（3）证明对一切，都有成立．
20.解：
（1）定义域为
又
函数的在处的切线方程为：
，即 …………………………… 4分
（2）令得
当，，单调递减，
当，，单调递增． ……………………………6分
在上的最大值
当时，
当时，， ……………………10分
(3)问题等价于证明， ……………………………12分
由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.
设，则，易得，
当且仅当时取到，从而对一切，都有成立． ……………………………16分