1.1集合的含义与表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word版含解析）

集合的含义与表示同步练习
一、本节题型
（1）集合的含义.
（2）集合中元素的基本性质.
（3）元素与集合的关系.
（3）集合的表示方法.
二、题型练习
题型一 集合的含义
1. 下列各选项中,不能组成集合的是 【 】
（A）所有正整数 （B）所有大于0的数
（C）班上所有长得帅的同学 （D）所有的偶数
2. 下列各组集合中,表示同一个集合的是 【 】
（A） （B）
（C）
（D）
3. 下列每组对象能组成一个集合的是 【 】
①2022年冬季奥运会的举办城市;②2019年安徽高考数学试卷中所有的难题;③清华大学2019级的新生;④接近0的数的全体;⑤比较小的正整数的全体;⑥平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体.
（A）①②⑥ （B）①③⑥ （C）②④⑤ （D）①③④
4. 下列对象能构成集合的是 【 】
（A）高一年级全体较胖的学生
（B）
（C）全体很大的自然数
（D）平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
题型二 集合中元素的基本性质
5. 已知集合S中的三个元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是 【 】
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）等腰三角形
6. 已知集合M含1 , 2 , 三个元素,则满足 【 】
（A）,且 （B）
（C） （D）,且
7. 若以房产和的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为 【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8. 由实数所组成的集合中最多含 【 】
（A）2个元素 （B）3个元素
（C）4个元素 （D）5个元素
9. 在下列选项中,集合中的实数不能取的值是 【 】
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
题型三 元素与集合的关系
10. 下列关系中,正确的有 【 】
①R; ②Q; ③Q; ④N; ⑤Z.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11. 已知集合A中含有三个元素2 , 4 , 8,若,且,则的值为 【 】
（A）2 （B）4 （C）8 （D）0
12. 若集合A中只含有元素,则下列关系正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
13. 已知集合,则与集合A的关系是 【 】
（A） （B） （C） （D）
14. 已知集合A中的元素满足Z,则下列表示正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
15. 已知都是非零实数,可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
16. 集合A中的元素满足N且,若,则的值为_________.
17. 集合A中含有三个元素0 , 1 , ,且,则实数的值为_________.
18. 已知N,且Z,若的所有取值组成集合M,则集合M中的元素为__________.
19. 若集合A是由三个元素组成的,且,则_________.
20. 已知集合,若,则的值为_________.
题型四 集合的表示方法
21. 把集合用列举法表示为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
22. 集合的另一种表示方法是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
23. 将集合用列举法表示,正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
24. 已知集合,,则集合N中所有元素之和为 【 】
（A） （B）0 （C）1 （D）2
25. 下列命题中正确的个数为 【 】
（1）很小的实数可以构成集合;
（2）集合与集合是同一个集合;
（3）1 , , , , 0. 5这些数组成的集合含有5个元素;
（4）集合是指第二和第四象限内的点集.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
26. 用列举法表示集合,正确的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
27. 实数1不是下面哪一个集合中的元素 【 】
（A）整数集Z （B）
（C） （D）
28. 能被2整除的正整数组成的集合,用描述法可表示为________________.
29. 用列举法表示集合:________________.
30. 已知集合,若,则为__________.
31. 下列各组集合中,满足的有_________。（填序号）
①,; ②;
③.
32. 设集合,集合,则集合B中所有元素的和为_________.
33. 已知方程.
（1）若方程的解集中只有一个元素,求实数的关系式;
（2）若方程的解集中有两个元素分别为1 , 3,求实数的值.
34. 已知集合.
（1）若A中只有一个元素,求的取值范围;
（2）若A中至多有一个元素,求的取值范围.
集合的含义与表示同步练习答案解析
1. 下列各选项中,不能组成集合的是 【 】
（A）所有正整数 （B）所有大于0的数
（C）班上所有长得帅的同学 （D）所有的偶数
解析: 集合的元素具有确定性.（C）选项中“帅”的标准不明确,不能确定某个同学是否属于这个集合.
选择答案【 C 】.
2. 下列各组集合中,表示同一个集合的是 【 】
（A） （B）
（C）
（D）
解析: （A）中,集合M和集合N是两个不同的点集,不是同一个集合.
（B）中,集合M和集合N都是含有两个元素2和3的数集,因为集合的元素具有无序性,所以集合M与集合N表示同一个集合;
（C）中,区分数集和点集的关键在于代表元素,若代表元素为有序实数对,则集合表示的是点集.集合M是点集,它是由直线上的所有点构成的集合;集合N为数集,它是函数的函数值构成的集合.因此集合M和集合N不是同一个集合;
（D）中,集合M是点集,只有一个元素集合N是数集,含有两个元素,它们不是同一个集合.
选择答案【 B 】.
3. 下列每组对象能组成一个集合的是 【 】
①2022年冬季奥运会的举办城市;②2019年安徽高考数学试卷中所有的难题;③清华大学2019级的新生;④接近0的数的全体;⑤比较小的正整数的全体;⑥平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体.
（A）①②⑥ （B）①③⑥ （C）②④⑤ （D）①③④
解析: 对于②,难题的标准不明确,不能构成一个集合;对于④,接近0的程度不明确,不能构成集合;对于⑤,比较小的标准不明确,不能构成集合.
选择答案【 B 】.
4. 下列对象能构成集合的是 【 】
（A）高一年级全体较胖的学生
（B）
（C）全体很大的自然数
（D）平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
解析: 对于（A）,“较胖”的标准不确定,不满足集合元素的确定性,故不能构成集合;
对于（B）,因为,不满足集合元素的互异性,不能构成集合;
对于（C）,“很大”的标准不明确,不满足集合元素的确定性,故不能构成集合;
对于（D）,平面内当△ABC三个顶点距离相等的点,是△ABC的外心,是确定的,符号集合元素的确定性,故能构成集合.
选择答案【 D 】.
5. 已知集合S中的三个元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是 【 】
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）等腰三角形
解析: 本题考查集合元素的互异性.由题意可知,所以△ABC一定不是等腰三角形.
选择答案【 D 】.
6. 已知集合M含1 , 2 , 三个元素,则满足 【 】
（A）,且 （B）
（C） （D）,且
解析: 本题考查集合元素的互异性.
由题意可得,解之得:,且.
选择答案【 D 】.
7. 若以房产和的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为 【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解析: 本题考查集合元素的互异性.在用列举法表示集合时,相同的元素算作是一个元素,不能重复.
解方程得:;
解方程得:.
∴,共有3个元素.
选择答案【 C 】.
8. 由实数所组成的集合中最多含 【 】
（A）2个元素 （B）3个元素
（C）4个元素 （D）5个元素
解析: ,.
①当时,,根据集合元素的互异性,此时集合中含有2个元素;
②当时,集合中只含有元素0;
③当时,集合中含有2个元素.
综上所述,该集合中最多含2个元素.
选择答案【 A 】.
9. 在下列选项中,集合中的实数不能取的值是 【 】
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析: 根据集合中元素的互异性可得:,解之得:,且,且,且.
选择答案【 B 】.
10. 下列关系中,正确的有 【 】
①R; ②Q; ③Q; ④N; ⑤Z.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
解析: 本题考查几种重要数集的表示方法以及元素与集合之间的关系.
常用数集的表示
自然数集N; 正整数集N*或N+; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R.
选择答案【 C 】.
11. 已知集合A中含有三个元素2 , 4 , 8,若,且,则的值为 【 】
（A）2 （B）4 （C）8 （D）0
解析: 当时,,不符合题意;
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意.
综上所述,的值为4.
选择答案【 B 】.
12. 若集合A中只含有元素,则下列关系正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 本题考查元素与集合之间的关系.元素与集合之间是从属关系,即元素属于集合或元素不属于集合.
选择答案【 B 】.
13. 已知集合,则与集合A的关系是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: ∵
∴,即
∴,选择答案【 A 】.
14. 已知集合A中的元素满足Z,则下列表示正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 对于（A）,令,解之得Z,∴;
对于（B）,令,解之得:Z,∴;
对于（C）,令,解之得:或,符合题意,∴;
对于（D）,令,解之得:Z,∴.
选择答案【 C 】.
15. 已知都是非零实数,可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 当时,;
当时,;
当或时,.
综上所述,.选择答案【 B 】.
16. 集合A中的元素满足N且,若,则的值为_________.
解析: ∵≥0,∴≤0,∴≤1,即≤1.
∵N,∴≤≤1,∴.
∵,∴或.
17. 集合A中含有三个元素0 , 1 , ,且,则实数的值为_________.
解析: 当时,解之得:,不符合题意（不满足集合元素的互异性）;
当时,解之得:（舍去）;
当时,解之得:,均不符合题意,舍去.
综上所述,实数的值为.
18. 已知N,且Z,若的所有取值组成集合M,则集合M中的元素为__________.
解析: ∵N,且Z
∴,解之得: 0≤≤5,且N.
易知:符合题意.
∴,共有4个元素.
19. 若集合A是由三个元素组成的,且,则_________.
解析: 本题考查集合中元素的互异性.所求字母的值必须满足集合元素的互异性.
当时,解之得:,此时,不符合题意;
当时,解之得:（舍去）,此时,符合题意.
综上所述,.
20. 已知集合,若,则的值为_________.
解析: 当时,解之得:,此时,不符合题意.
当时,解之得:,此时,符合题意.
综上所述,的值为.
21. 把集合用列举法表示为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 该集合是一元二次方程的根组成的集合.在用列举法表示集合时,注意元素的互异性,相同的元素只能算作一个元素.
解方程得:.
∴该集合为,选择答案【 A 】.
22. 集合的另一种表示方法是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 在用描述法表示一个集合时,要弄清代表元素的特征.本题中代表元素为小于5的正整数,为1 , 2 , 3 , 4,故用列举法表示为.
∴选择答案【 B 】.
23. 将集合用列举法表示,正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 该集合表示的是点集,可以认为是方程组的解（有序实数对）组成的集合,也可以认为是在平面直角坐标系中直线与直线的交点组成的集合.
解方程组得:,用列举法表示为.
选择答案【 B 】.
24. 已知集合,,则集合N中所有元素之和为 【 】
（A） （B）0 （C）1 （D）2
解析: 由题意可知,,其所有元素之和为.
选择答案【 A 】.
25. 下列命题中正确的个数为 【 】
（1）很小的实数可以构成集合;
（2）集合与集合是同一个集合;
（3）1 , , , , 0. 5这些数组成的集合含有5个元素;
（4）集合是指第二和第四象限内的点集.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解析: 对于（1）,“很小”的标准不明确,不满足集合元素的确定性,不能构成集合;
对于（2）,集合是数集,它是二次函数的函数值构成的集合;集合是点集,它是二次函数的图象上所有点构成的集合,所以它们不是同一个集合;
对于（3）,,,根据集合元素的互异性,这些数组成的集合中含有3个元素;
对于（4）,说法正确.
故说法正确为（4）,只有1个,选择答案【 B 】.
26. 用列举法表示集合,正确的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 根据集合代表元素的特征,该集合表示的是点集.
解方程得:或.
∴该集合用列举法表示为.
选择答案【 B 】.
27. 实数1不是下面哪一个集合中的元素 【 】
（A）整数集Z （B）
（C） （D）
解析: 对于（C）,,故1不属于该集合;
对于（D）,分式不等式≤0同解于不等式组.
解之得:≤1,所以.
选择答案【 C 】.
28. 能被2整除的正整数组成的集合,用描述法可表示为________________.
解析: .
29. 用列举法表示集合:________________.
解析: 认真审题,注意代表元素的取值范围.
∵Z,N
∴可取的值为:∴.
30. 已知集合,若,则为__________.
解析: 由题意可知,元素为方程组的解,为有序实数对.
解方程组得:.
∴.
31. 下列各组集合中,满足的有_________。（填序号）
①,; ②;
③.
解析: 只有②符合题意.
32. 设集合,集合,则集合B中所有元素的和为_________.
解析: 由题意可知:的值为:.
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
∴,其所有元素的和为.
33. 已知方程.
（1）若方程的解集中只有一个元素,求实数的关系式;
（2）若方程的解集中有两个元素分别为1 , 3,求实数的值.
解析:（1）由题意可知,该方程有两个相等的实数根
∴
∴;
（2）由根与系数的关系定理可得:
∴.
34. 已知集合.
（1）若A中只有一个元素,求的取值范围;
（2）若A中至多有一个元素,求的取值范围.
解析:（1）方程的二次项系数含有参数,需要分两种情况进行讨论.
当时,,解之得:,此时,符合题意;
当时,方程有两个相等的实数根
∴,即,解之得:,此时,符合题意.
综上所述,的值为0或1;
（2）当集合A中只有一个元素时,由（1）可知:或;
当集合A为空集（不含任何元素）时,方程无实数根
∴,即,解之得:.
综上所述,当A中至多有一个元素时,≥1或.