1.2集合间的基本关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word版含解析）

集合间的基本关系同步练习
一、本节知识点
（1）Venn图,表示集合的图示法.
（2）子集的含义及表示.
（3）集合相等.
（4）真子集的含义及表示.
（5）空集的含义及其性质.
（6）子集、真子集个数的确定.
二、本节题型
（1）根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围.
（2）集合间关系的判断.
（3）子集、真子集的个数问题.
（4）集合之间的基本关系与方程的综合.
三、知识点同步练习
子集的含义及表示
1. 对于集合A、B,“”不成立的含义是 【 】
（A）B是A的子集
（B）A中的元素都不是B的元素
（C）A中至少有一个元素不属于B
（D）B中至少有一个元素不属于A
2. 若集合,
,则 【 】
（A） （B） （C） （D）
3. 已知集合的子集的个数为_________.
真子集的含义及表示
4. 下列命题中,正确的有 【 】
①空集是任何集合的真子集; ②若,,则;
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;
④如果不属于B的元素一定不属于A,则.
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
5. 集合,集合,则P与Q的关系是 【 】
（A） （B） （C） （D）
6. 集合,若且,则的值为 【 】
（A） （B）4 （C）或 （D）或1
7. 集合的真子集的个数为 【 】
（A）3 （B）4 （C）7 （D）8
8. 已知集合,则集合A的一个真子集为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
9. 设集合,则M的真子集的个数为_________.
集合相等、空集的含义及其性质
10. 给出下列说法:
①空集没有子集; ②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集; ④若,则.
其中正确的个数是 【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
11. 下列四个集合中,是空集的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
12. 已知集合,,那么 【 】
（A） （B） （C） （D）
13. 集合,,若,则实数的取值集合为 【 】
（A） （B） （C） （D）
14. 已知,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）≤ （C）≥ （D）
15. 集合,,且,则实数 【 】
（A）2 （B） （C）2或 （D）4
集合间关系的判断
16. 已知集合,,则满足的集合C的个数为 【 】
（A）4 （B）8 （C）7 （D）16
17. 已知集合,则下列式子表示不正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
18. 若集合,,且,则满足条件的实数的个数为 【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
19. 集合,,之间的关系是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
20. 集合,,则集合M、N之间的关系为 【 】
（A） （B） （C） （D）无法判断
根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
21. 已知集合,,且,则 【 】
（A）0或 （B）0或3 （C）1或 （D）1或3
22. 设集合,,若,则的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
23. 设集合,,若,则的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
24. 已知集合,集合,若,则_________.
25. 已知,,若,则实数的取值范围是____________.
26. 方程的解集为A,方程的解集为B,若,则实数的取值集合为____________.
27. 已知集合,,判断这两个集合之间的关系.
28. 已知集合,,是否存在实数,使得?若存在,求集合A、B;若不存在,说明理由.
29. 已知集合.
（1）若,求实数的取值范围;
（2）若,且,求实数的取值范围.
30. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
集合间的基本关系同步练习答案解析
1. 对于集合A、B,“”不成立的含义是 【 】
（A）B是A的子集
（B）A中的元素都不是B的元素
（C）A中至少有一个元素不属于B
（D）B中至少有一个元素不属于A
解析: 的符号表述为:对任意的,都有,但B中可以存在不属于A的元素.如果A中存在不属于B的元素（至少一个）,则A不是B的子集.
选择答案【 C 】.
2. 若集合,
,则 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 等腰直角三角形和等边三角形都属于特殊的等腰三角形.
选择答案【 B 】.
3. 已知集合的子集的个数为_________.
解析: 本题考查集合子集个数的确定:若集合A含有个元素,则集合A含有个子集,含有个非空子集.
先确定集合M的元素个数.本题中,集合M是一元二次方程的实数根构成的集合.
∵
∴方程有两个不相等的实数根.
∴集合M含有两个元素,其子集的个数为.
4. 下列命题中,正确的有 【 】
①空集是任何集合的真子集; ②若,,则;
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;
④如果不属于B的元素一定不属于A,则.
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
解析: 对于①,空集是任何非空集合的真子集,空集不存在真子集,故①说法错误;
对于②,子集、真子集具有传递性,故②正确;
对于③,空集只有一个子集,是它本身,不存在真子集.对于单元素集合,如,其真子集的个数为.故③说法错误;
对于④,结合Venn图可知其说法正确.
∴正确的说法是②④.
选择答案【 C 】.
5. 集合,集合,则P与Q的关系是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 本题考查判断两个集合之间的关系.
判断集合间关系的常用方法有三种:
（1）列举观察法 当集合中元素个数较少时,可以分别列出两个集合中的全部元素,然后按照定义得出两个集合之间的关系.
（2）集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
（3）数形结合法 利用Venn图、数轴可以形象直观地反映两个集合之间的关系.一般地,判断两个不等式的解集之间的关系,适合借助于数轴.
本题中,先确定集合P、Q的代表元素以及代表元素的特征.
集合P是函数的自变量的取值范围构成的集合,所以,集合Q是函数的函数值构成的集合,所以.故.
选择答案【 B 】.
6. 集合,若且,则的值为 【 】
（A） （B）4 （C）或 （D）或1
解析: ∵,
∴当时,,此时,不符合题意;
当时,解之得::
若,则,此时,不符合题意;
若,则,此时,符合题意.
综上所述,的值为4.
选择答案【 B 】.
7. 集合的真子集的个数为 【 】
（A）3 （B）4 （C）7 （D）8
解析: 若集合A含有个元素,则集合A有个真子集,有个非空真子集.
∵
∴集合A的真子集的个数为.
选择答案【 C 】.
8. 已知集合,则集合A的一个真子集为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 本题涉及到一元二次不等式的解法.
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;
（2）计算的值,并判断的符号;
（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
（4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
解不等式得:.
∴
选择答案【 C 】.
9. 设集合,则M的真子集的个数为_________.
解析:
∴M的真子集的个数为.
10. 给出下列说法:
①空集没有子集; ②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集; ④若,则.
其中正确的个数是 【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解析: 本题考查空集的性质.
空集具有如下的性质:
（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.
（2）空集只有一个子集,是空集,即它本身;
（3）空集是任何非空集合的真子集,即若,则.
说法正确的只有④.
选择答案【 B 】.
11. 下列四个集合中,是空集的是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析: 对于（A）,集合为;
对于（B）,∵,∴,∴,集合为;
对于（C）,集合为;
对于（D）,∵,∴方程无实数根
∴.
选择答案【 D 】.
12. 已知集合,,那么 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: ∵
∴
即集合M、P都是由第三象限的点构成的集合.
∴.
选择答案【 C 】.
13. 集合,,若,则实数的取值集合为 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: ∵
∴分为两种情况:
①当时,解之得:或,不满足集合元素的互异性,舍去;
②当时,解之得:或（舍去）.
综上所述,实数的取值集合为.
选择答案【 A 】.
14. 已知,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）≤ （C）≥ （D）
解析: 本题考查空集的性质:空集是任何非空集合的真子集.
由题意可知,集合,即一元二次方程有实数根
∴≥0,≥0,解之得:≤.
选择答案【 B 】.
15. 集合,,且,则实数 【 】
（A）2 （B） （C）2或 （D）4
解析: 由题意可知:
解之得:.
选择答案【 C 】.
16. 已知集合,,则满足的集合C的个数为 【 】
（A）4 （B）8 （C）7 （D）16
解析: ∵,
∴,.
∵
∴集合C的个数为.
选择答案【 B 】.
重要结论:对于有限集A , B , C,设集合A中含有个元素,集合B中含有个元素.
①若,则C的个数为;
②若,则C的个数为;
③若,则C的个数为;
④若,则C的个数为.
17. 已知集合,则下列式子表示不正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: .
对于（A）,正确;
对于（B）,集合之间没有从属关系,应为,故（B）错误;
对于（C）,空集是任何集合的子集,正确;
对于（D）,任何一个集合都是它本身的子集（包括空集）,正确.
选择答案【 B 】.
18. 若集合,,且,则满足条件的实数的个数为 【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解析: 当时,解之得:,符合题意;
当时,解之得:或（不满足集合元素的互异性,舍去）.
综上所述,的值为或0,共有3个.
选择答案【 C 】.
19. 集合,,之间的关系是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析:
∵
∴.
∴,选择答案【 C 】.
20. 集合,,则集合M、N之间的关系为 【 】
（A） （B） （C） （D）无法判断
解析:
令,则;
令,则.
∵
∴,选择答案【 C 】.
21. 已知集合,,且,则 【 】
（A）0或 （B）0或3 （C）1或 （D）1或3
解析: 当时,,,满足,符合题意;
当时,解之得:或:
若,则,,符合题意;
若,则,不满足集合元素的互异性,舍去.
综上所述,或.
选择答案【 B 】.
22. 设集合,,若,则的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 本题考查由集合间的关系确定参数的值或取值范围.
对于两个用不等式解集表示的集合,要借助于数轴来完成对参数的约束.把两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.
∵
∴≤,即的取值范围是.
选择答案【 D 】.
23. 设集合,,若,则的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: 由题意可得:≥2.
∴的取值范围是.
选择答案【 A 】.
24. 已知集合,集合,若,则_________.
解析: 由题意可得:,解之得:.
25. 已知,,若,则实数的取值范围是____________.
解析: ∵
∴分为两种情况:
①当时,则有:,显然不成立;
②当时,则有:
≤,或,解之得:≤或.
综上所述,实数的取值范围是.
关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或,则≥.
最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.
26. 方程的解集为A,方程的解集为B,若,则实数的取值集合为____________.
解析: ,.
∵
∴分为两种情况:
①当时,则;
②当时,则有或:
若,则,解之得:;
若,则,解之得:.
综上所述,实数的取值集合为.
27. 已知集合,,判断这两个集合之间的关系.
解析: ∵
∴.
28. 已知集合,,是否存在实数,使得?若存在,求集合A、B;若不存在,说明理由.
解析: 假设存在实数,使得.
当时,解之得:,此时,不满足集合元素的互异性,舍去;
当时,解之得::
若,则,不满足集合元素的互异性,舍去;
若,则,符合题意.
综上所述,存在,使得.
29. 已知集合.
（1）若,求实数的取值范围;
（2）若,且,求实数的取值范围.
解析:（1）∵,∴.
∴一元二次方程有实数根
∴≥0,解之得:≥.
∴实数的取值范围为;
（2）.
∵
∴分为两种情况:
①当时,则有,解之得:;
②当时,则有或或:
若或,则,解之得:,此时,符合题意;
若,由根与系数的关系定理可得:,显然无解.
综上所述,实数的取值范围是.
30. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
解析: .
∵
∴分为两种情况:
（1）当时,方程无实数根.
∴,解之得:;
（2）当时,则有或或:
①当或时,方程有两个相等的实数根
∴,解之得:,此时,符合题意;
②当时,由根与系数的关系定理可得:
解之得:.
综上所述,实数的取值范围是.
根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合A与B,A或B中含有待定的参数（字母）,若已知集合A与B的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.
（1）分类讨论:若,在未指明集合A非空时,应分为和两种情况进行讨论.
（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.