2.2基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（Word版含解析）

基本不等式同步练习
一、本节知识点
（1）基本不等式.
（2）利用基本不等式求最值.
（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.
二、本节题型
（1）利用基本不等式求最值.
（2）利用基本不等式证明不等式.
（3）基本不等式的实际应用.
（4）与基本不等式有关的恒成立问题.
三、同步练习
1. 若为正实数,且,则的最大值为 【 】
（A） （B）1 （C） （D）2
2. 当≥4时,的最小值为 【 】
（A）5 （B）4 （C） （D）
3. 已知,且满足,则的最小值为 【 】
（A）7 （B）9 （C）4 （D）
4. 设,,则的最小值为 【 】
（A） （B）2 （C） （D）3
5. 代数式（）的最小值为 【 】
（A）2 （B）7 （C）9 （D）10
6. 设,则的最大值是 【 】
（A）2 （B）1 （C） （D）
7. 已知,,则的最小值是 【 】
（A） （B） （C）3 （D）2
8. 设R,对于使≤M成立的所有常数M,我们把M的最小值叫做的上确界.若,且,则的上确界为 【 】
（A） （B） （C） （D）
以下三题多选
9. 设,下列不等式恒成立的是 【 】
（A） （B）
（C）≥4 （D）≥4
10. 若正实数满足,则下列选项中正确的是 【 】
（A）有最大值 （B）有最小值
（C）有最小值4 （D）有最小值
11. 下列各式中,最大值是的是 【 】
（A） （B）（0≤≤1）
（C） （D）（）
12. 已知实数,且,则的最小值为_________,的最小值为_________.
13. 已知是正实数,且,则的最小值是_________,的最小值是_________.
14. 已知,且,则的最大值为_________,的最小值为_________.
15. 设,求代数式的最大值.
16. 已知为正实数,求证:≥.
17. 已知,.求证:≤2.
基本不等式同步练习答案解析
1. 若为正实数,且,则的最大值为 【 】
（A） （B）1 （C） （D）2
分析: 本题考查基本不等式（均值不等式）:≥,其中.
当两个正数的和为定值时,它们的乘积有最大值,即:和定积最大.
解析: ∵为正实数
∴≤.
当且仅当时,取等号.
∴≤1,即的最大值为1.
∴选择答案【 B 】.
点评 本题也可由结论≤求得结果.
2. 当≥4时,的最小值为 【 】
（A）5 （B）4 （C） （D）
分析: 本题为易错题,利用基本不等式求最值时,要注意必须满足的三个条件:一正、二定、三相等,若不满足其中任何一个条件,将会出错.
错解: ∵≥4,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为5.
∴选择答案【 A 】.
错因分析 上面求得最小值为5的条件是,但是不满足题目条件≥4.也就是说,当≥4时,的最小值不是5.
解析: .
设,则.
∵≥4,∴≥3,即.
∵在上单调递增
∴当时,.
∴当≥4时,的最小值为.
∴选择答案【 D 】.
3. 已知,且满足,则的最小值为 【 】
（A）7 （B）9 （C）4 （D）
解析: ∵,
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为9.
∴选择答案【 B 】.
4. 设,,则的最小值为 【 】
（A） （B）2 （C） （D）3
解析: ∵,∴.
∵
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
∴选择答案【 A 】.
另解: ∵,∴.
∵
∴,解之得:.
∴.
令,解之得:.
∴当时,恒成立.
∴当时,.
∴≥.
∴的最小值为.此时,.
∴选择答案【 A 】.
5. 代数式（）的最小值为 【 】
（A）2 （B）7 （C）9 （D）10
分析: 本题令,则有
.
∴,解之得:.
∴.
解析: ∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式（）的最小值为9.
∴选择答案【 C 】.
6. 设,则的最大值是 【 】
（A）2 （B）1 （C） （D）
解析: ∵,∴,∴.
∴
≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值是.
∴选择答案【 D 】.
7. 已知,,则的最小值是 【 】
（A） （B） （C）3 （D）2
解析: ∵,
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是.
∴选择答案【 B 】.
另解: ∵
∴,整理得:.
∵
∴≥.
当且仅当时,等号成立.
∴选择答案【 B 】.
8. 设R,对于使≤M成立的所有常数M,我们把M的最小值叫做的上确界.若,且,则的上确界为 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析: ∵,
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∴≤.
∴的上确界为.
∴选择答案【 D 】.
以下三题多选
9. 设,下列不等式恒成立的是 【 】
（A） （B）
（C）≥4 （D）≥4
解析:
对于（A）,∵
∴恒成立,故（A）正确;
对于（B）,∵≥0
∴≥恒成立,故（B）错误;
对于（C）,∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴当时,≥4恒成立,故（C）正确;
对于（D）,∵
∴≥,≥.
当且仅当,即时,上面两个等号成立.
∴≥4.（同向同正可乘性）
故（D）正确.
综上,恒成立的是【 ACD 】.
10. 若正实数满足,则下列选项中正确的是 【 】
（A）有最大值 （B）有最小值
（C）有最小值4 （D）有最小值
解析:
对于（A）,∵为正实数,
∴≥,∴≤1.
∴≤,∴≤.
∴有最大值,无最小值,故（A）正确;
对于（B）,≤.
当且仅当时,等号成立.
∴≤.
∴有最大值,无最小值,故（B）错误;
对于（C）,≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为4,故（C）正确;
对于（D）,∵≥
∴≥
∴≥.
当且仅当时,等号成立.
∴的最小值为,故（D）错误.
综上,选择答案【 AC 】.
11. 下列各式中,最大值是的是 【 】
（A） （B）（0≤≤1）
（C） （D）（）
解析:
对于（A）,≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴有最小值,无最大值;
对于（B）,∵0≤≤1
∴≤.
（根据关于两个正数的不等式链:≤≤≤得到）
当且仅当,即时,等号成立.
∴（0≤≤1）的最大值为,最小值为0;
对于（C）,≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴0≤≤,即有最小值0,最大值;
对于（D）,∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴（）的最小值为2,无最大值.
综上,选择答案【 BC 】.
12. 已知实数,且,则的最小值为_________,的最小值为_________.
解析: ∵
∴≥
∴≤2,∴≥4.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为4.
∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
另解: ∵,∴.
∵,∴.
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立,此时.
∴的最小值为4.
≥.
当且仅当,即时,等号成立,此时.
∴的最小值为.
13. 已知是正实数,且,则的最小值是_________,的最小值是_________.
解析: ∵,∴.
∵是正实数
∴≥,即≥.
解之得:≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是.
∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是.
14. 已知,且,则的最大值为_________,的最小值为_________.
解析: ∵
∴≥,解之得:≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值为.
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
另解: ∵,且
∴,∴.
∴.
∵
∴当时,,此时.
15. 设,求代数式的最大值.
解析: .
∵,∴.
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式的最大值为.
16. 已知为正实数,求证:≥.
证明: ∵为正实数
∴≥,≥,≥.
当且仅当时,上面所有的等号成立.
∴由不等式的同向可加性得:
≥.
∴≥.
17. 已知,.求证:≤2.
证明: ∵,∴.
∵
∴
≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∵
∴≤2.