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第一讲
一元二次方程
概念和解法
模块一
一元二次方程的概念
模块二
一元二次方程的解法
模块一
一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
（2）任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式
()．
要特别注意对于关于x的方程．当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
（3）关于x的一元二次方程式的项与各项的系数．
为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．
模块二
一元二次方程的解法
1．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．
（2）配方法：解形如的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①二次项系数化为1．
②常数项右移．
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．
④化成的形式．
⑤若，直接开平方得出方程的解．
（3）公式法：将进行配方可以得到：．
当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根．
可以用表示，称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值；
③计算的值；
④若，则代入公式求方程的根；
⑤若，则方程无实数根．
（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
2．一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．
（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．
（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值．
（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．
【教师备课提示】说到方程，大家都知道方程是怎么来的吗？？？说到一元二次方程不得不提到三个人，丢番图，花拉子米和韦达的故事（根据进度控制故事时长）．
（1）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤；⑥（k为常数）是一元二次方程_________．
（2）（清华附中初三统练）若一元二次方程的常数项为零，则m的值为_________．
（3）若是关于x的一元二次方程，求a、b的值．
（1）②⑥．
（2）由题意可知，，，故
（3）分以下几种情况考虑：
①，，此时，；
②，，此时，；
③，，此时，；
【教师备课提示】这三道题主要考察学生们对一元二次方程的基本概念的理解，比较简单，但是第三个小题容易犯错误。主要是考虑不全，或者误以为，的情况可以成立．实际上，有一个隐含的限制条件，即，是一个分式，表示的意义是，如果本题中或者是成立，原方程就不是一个整式方程，而是一个分式方程，既然不是整式方程，就更谈不上是一元二次方程了．
（1）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则m的值为_______．
（2）已知a是一元二次方程的根，求下列各式的值：
①；②；③．
（3）关于x的方程的解是，，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
（1）由于为一元二次方程，∴，而代回方程得到：．综上可知．
（2）①由知，，故，即；②；③由于，代入所求得，原式．
（3），．
解方程：（1）
（2）
（1），，，．
（2），，，
【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用开平方的方法去解一元二次方程．
解方程：（1）（成都武侯区上期期末）
（2）
（3）
（1），，，，；
（2），，，，；
（3），，，．
【教师备课提示】这道题主要是练习用配方法去解一元二次方程，需要学生多去体验．
解方程：（1）
（2）
（1），，
∴原方程的解为：，；
（2），
故，∴原方程的解为：，．
【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用公式法去解一元二次方程，牢记解一元二次方程的公式．
解方程：（1）
（2）
（3）
（1），，，；
（2），，，，．
（3），．
【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用因式分解的方法去解一元二次方程．
选择合适的方法求解下列方程：（1）
（2）
（1）方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解，由于，故可以简单分解为：，解为，．
（2）公式法解决：，所以由公式法知，故
解为，．
【教师备课提示】第一，通过这道题，逐步锻炼孩子们自己遇到一个一元二次方程的题时，自己选择自己觉得最简单的方法；第二，老师可给学生总结，一般遇到这种问题的时候，大家可以先把式子变为一元二次方程的一般形式，然后能因式分解的就因式分解，但是因式分解需要会拼凑，逐步培养感觉，不能因式分解的可以选择用公式法，但是同学们一定要把公式法记对了并且会推导；第三，让同学们自己出一个一元二次方程，让学生们自己解下．
解关于x的方程：（1）（m、n为常数）
（2）
（3）
（1），，，．
（2）若，则，；
若，则，，故，
（3）①当时，方程二次项系数为0，此时，或．
当时，方程化为，解为；当时，方程化为，解为．
②当时，方程可以因式分解为，
解为，．
【教师备课提示】通过这道题，让孩子们学会对含参数的一元二次方程，知道要分类讨论，并且在脑海中形成分类讨论的思想和习惯；同时讲解含参数方程用公式法判定的时候要讨论判别式的正负性．
1．如果关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
3．关于x的一元二次方程的一个根是，则________．
4．若实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程一定有一个根_________．
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
1．D；2．；3．；4．；5．B．
6．已知a是方程的根，求的值．
由题意，∴，
∴原式．
7．解方程：（1）
（2）
（3）
（1），；
（2），；
（3），，故．
8．解关于x的方程：（1）
（2）
（3）
（1）原式可以因式分解为：，解为，．
（2），．
（3）二次项系数中含有字母，所以要加以讨论，
①若，则原方程成为
若，则，原方程为，x可为一切实数．
若，则．
②若，则原方程成为，得，．
9．解方程：．
设，则原方程化为，即，
代回可得：，即或．
，可化为，解得，；
，用公式法解决，，故此方程无实数根．
综上方程解为：，．
笔记区
模块一
一元二次方程的概念
0
模块二
一元二次方程的解法
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课后作业
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概念和解法
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一元二次方程的解法
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一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
（2）任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式
()．
要特别注意对于关于x的方程．当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
（3）关于x的一元二次方程式的项与各项的系数．
为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．
模块二
一元二次方程的解法
1．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．
（2）配方法：解形如的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①二次项系数化为1．
②常数项右移．
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．
④化成的形式．
⑤若，直接开平方得出方程的解．
（3）公式法：将进行配方可以得到：．
当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根．
可以用表示，称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值；
③计算的值；
④若，则代入公式求方程的根；
⑤若，则方程无实数根．
（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
2．一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．
（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．
（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值．
（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．
【教师备课提示】说到方程，大家都知道方程是怎么来的吗？？？说到一元二次方程不得不提到三个人，丢番图，花拉子米和韦达的故事（根据进度控制故事时长）．
（1）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤；⑥（k为常数）是一元二次方程_________．
（2）（清华附中初三统练）若一元二次方程的常数项为零，则m的值为_________．
（3）若是关于x的一元二次方程，求a、b的值．
（1）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则m的值为_______．
（2）已知a是一元二次方程的根，求下列各式的值：
①；②；③．
（3）关于x的方程的解是，，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
解方程：（1）
（2）
解方程：（1）（成都武侯区上期期末）
（2）
（3）
解方程：（1）
（2）
解方程：（1）
（2）
（3）
选择合适的方法求解下列方程：（1）
（2）
解关于x的方程：（1）（m、n为常数）
（2）
（3）
1．如果关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
3．关于x的一元二次方程的一个根是，则________．
4．若实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程一定有一个根_________．
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
6．已知a是方程的根，求的值．
7．解方程：（1）
（2）
（3）
8．解关于x的方程：（1）
（2）
（3）
9．解方程：．
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