函数综合
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函数综合
一）一次函数
2011江苏盐城):如图，已知一次函数y=--x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；A（3.4） B(7 .0)
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线L∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线L从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线L交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线L都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？2 3和6舍去
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．1 5
2009年山西》如图，已知直线L1：y=x+与直线L2：y=-2x+16相交于点C，L1、L2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线L1、L2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；（36）
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；4 8
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
1》s=--t2+t+(0t <3)
s=--t+(3t<8)
s=t2-8t+48（8t12）
二）反比例函数
2010河南》 如图，直线y=k1x+b与反比例y=函数的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值．
（2）直接写出k1x+b-->0时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数y=的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
2010甘肃兰州》如图，P1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？△P1OA1的面积将逐渐
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．
﹙，0﹚
2009年湖北孝感》如图，点P是双曲y=（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= __________（用含k1、k2的式子表示）；（）
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S2=S△PEF-S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
S2=当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12．
0＜S2＜24，s2没有最小值．
三）一次函数与反比例函数的综合问题
2010）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．
2011年四川宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.
求一次函数的解析式；
设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.
四）一次函数与二次函数的综合
2010湖北荆门）已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
2009年江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．
同理，……………………………13分
∴．……………………14分
（2）∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称，
∴y2 = (x>0) (4分)
∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，∴B (0，2) (5分)
设P（n， )，n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2∴( 2+ )n– 22 = 2，n = ， 分)
∴P（，） (7分)
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分
抛物线的对称轴是：x=1． 3分
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：k= -1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：．
当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．
当时，，
∴P（m，m+3）． 4分
在中，当时，
∴
当时，∴ 5分
∴线段DE=4-2=2，线段 6分
∵
∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：（不合题意，舍去）．
因此，当时，四边形为平行四边形． 7分
②设直线与轴交于点，由可得：
∵ 8分
即．
9分
说明：1．第（1）问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分；
O
B
x
y
y=--x+7
y=x
A
（第28题）
y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·
(21题图)
第24题图
x
y
D
C
A
O
B
（第24题）
（第28题）
y
O
·
A
x
B
M
·
Q
A1
P
M1
第24题图
x
y
D
C
A
O
B
E
P
F
M
（第24题）
一）一次函数
2011江苏盐城):如图，已知一次函数y=--x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；A（3.4） B(7 .0)
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线L∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线L从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线L交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线L都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？2 3和6舍去
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．1 5
2009年山西》如图，已知直线L1：y=x+与直线L2：y=-2x+16相交于点C，L1、L2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线L1、L2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；（36）
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；4 8
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
1》s=--t2+t+(0t <3)
s=--t+(3t<8)
s=t2-8t+48（8t12）
二）反比例函数
2010河南》 如图，直线y=k1x+b与反比例y=函数的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值．
（2）直接写出k1x+b-->0时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数y=的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
2010甘肃兰州》如图，P1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？△P1OA1的面积将逐渐
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．
﹙，0﹚
2009年湖北孝感》如图，点P是双曲y=（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= __________（用含k1、k2的式子表示）；（）
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S2=S△PEF-S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
S2=当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12．
0＜S2＜24，s2没有最小值．
三）一次函数与反比例函数的综合问题
2010）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．
2011年四川宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.
求一次函数的解析式；
设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.
四）一次函数与二次函数的综合
2010湖北荆门）已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
2009年江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．
同理，……………………………13分
∴．……………………14分
（2）∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称，
∴y2 = (x>0) (4分)
∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，∴B (0，2) (5分)
设P（n， )，n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2∴( 2+ )n– 22 = 2，n = ， 分)
∴P（，） (7分)
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分
抛物线的对称轴是：x=1． 3分
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：k= -1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：．
当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．
当时，，
∴P（m，m+3）． 4分
在中，当时，
∴
当时，∴ 5分
∴线段DE=4-2=2，线段 6分
∵
∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：（不合题意，舍去）．
因此，当时，四边形为平行四边形． 7分
②设直线与轴交于点，由可得：
∵ 8分
即．
9分
说明：1．第（1）问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分；
O
B
x
y
y=--x+7
y=x
A
（第28题）
y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·
(21题图)
第24题图
x
y
D
C
A
O
B
（第24题）
（第28题）
y
O
·
A
x
B
M
·
Q
A1
P
M1
第24题图
x
y
D
C
A
O
B
E
P
F
M
（第24题）
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