3.2 函数的基本性质同步课时训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（含解析）

2021-2022学年高一数学同步课时训练（人教A版2019必修第一册）
3.2课时
函数的基本性质
一、单选题。本大题共18小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知一个奇函数的定义域为，则
A．
B．
C．
D．
2．若是上的奇函数，且在上是增函数，若，那么的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
3．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
4．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的图象关于
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线对称
6．下列判断正确的是
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数是偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
7．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是（
）
A．3个交点的横坐标之和为0
B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C．f(0)=0
D．f(0)的值与函数解析式有关
10．（多选题）已知函数的定义域为，若存在区间使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（
）
A．；
B．；
C．；
D．．
11．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（
）
A．y=在R上为减函数
B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=在R上为增函数
D．y=f(x)在R上为减函数
12．定义在上的奇函数为减函数，偶函数在区间上的图象与的图象重合，设，则下列不等式中成立为（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是________．
14．已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
15．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
16．对于函数，在使恒成立的所有实数中，我们把的最大值叫做函数的下确界，则对于，的下确界为_______.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若对于任意的恒成立，求满足条件的实数的最小值．
18．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
19．已知函数，求函数在区间上的最值.
20．（1）已知f
（x+1）=x2+4x+1，求f（x）；
（2）已知f
（）=+1，求f（x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）﹣g（x）=x2﹣x，求f（x）．
21．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．
（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0，6]上的最小值．
22．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;
（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】因为一个奇函数的定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以与有一个等于1，另一个等于
，所以．
故选A．
2．D
【解析】根据题意，是上的奇函数，且，则（1），
又由在上是增函数，则在区间上，，在上，，
又由函数为奇函数，则在区间上，，在上，，
或，
则有或，
即不等式的解集为，，；
故选：．
3．C
【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．
故选：C.
4．A
【解析】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；
B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；
C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；
D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；
故选A.
5．C
【解析】解：
解得
的定义域为，D关于原点对称.
任取，都有，
是偶函数，其图象关于轴对称，
故选：C.
6．C
【解析】解：对于中，函数的定义域为{，且}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;
对于中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;
对于中，由得，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数;
对于中，函数是偶函数，但不是奇函数.
故选：.
7．B
【解析】因为是偶函数，所以，
又，且在上是增函数，
所以，即．
故选：B．
8．D
【解析】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，故选D
.
9．AC
【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(-x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确.
故选：AC.
10．ABD
【解析】函数中存在“倍值区间”，则（1）在内是单调函数，（2）或，
对于A，，若存在“倍值区间”，则，，存在“倍值区间”；
对于B，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在；
对于C，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若存在“倍值区间”，，
不符题意；
若存在“倍值区间”，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；
对于D，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，若存在“倍值区间”，，，，，
即存在“倍值区间”；
故选：ABD．
11．ABC
【解析】对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1对于y=f(x)，则有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，
则y=f(x)在R上为减函数，D正确.
故选：ABC
12．AC
【解析】为上的奇函数且为减函数，，；
为奇函数，为偶函数，
，，，，
对于AB，，
又在区间上的图象与的图象重合，，，
，，
则A正确，B错误；
对于CD，，，则C正确，D错误.
故选：AC.
13．，或
【解析】由图象可知：当时，的解为，
因为是偶函数，图象关于y轴对称，
所以当时，的解为．
所以的解是，或．
故答案为：，或
14．x＜
【解析】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
15．
【解析】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
16．
【解析】对于，，，则，
而，，，即.
故答案为：.
17．（1）既不是奇函数也不是偶函数；答案见解析；（2）．
【解析】（1）当时，，
因为，所以为偶函数；
当时，，，，，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（2）对于任意的，即恒成立，
所以对任意的都成立，
设，则为上的递减函数，所以时，取得最大值1，
所以，即．所以．
18．证明见解析.
【解析】证明：?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
19．，．
【解析】，且
，
又由，得，，，
则有，
则有，
故函数在区间上单调递减，
故，．
20．（1）f（x）=x2+2x﹣2；（2）f（x）=x2+3；（3）f（x）=﹣x.
【解析】解：（1），
令，则，
，
；
（2），
；
（3）为奇函数，，
为偶函数，，
，，
从而，，
由，得
.
21．（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）由题意可得，恒成立，
即对任意的x恒成立，
所以＝m2﹣12≤0，解得；
（2）因为2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，
由知，，
若当时，，
则当时，有恒成立，
①当时，，所以，
又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；
综上可知，x的取值范围是；
（3）由（2）知，且
，
即，
所以当时，，
当时，，
①当时，有，
此时，
当时，，
当时，，
故在上，，
②当时，即时，；
故在上，.
综上．
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】解：（1）由是定义在上的奇函数，所以；
又时，，
所以时，，所以
所以的解析式为；
（2）①若，由图在上递增；
②，在上先减再增
综上，；
（3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数
又是定义域上的奇函数，
由，不等式成立，可得
，
.