3.3幂函数 课时训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（含解析）

2021-2022学年高一数学同步课时训练（人教A版2019必修第一册）
3.3课时
幂函数
一、单选题。本大题共18小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若幂函数的图象经过原点，则m的值为（
）
A．1或2
B．2
C．1
D．不存在
2．已知幂函数的图象经过点（3，9），则的值为（
）
A．4
B．2
C．
D．
3．如图是幂函数的部分图像，已知取这四个值，则于曲线相对应的依次为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知幂函数的图像过点，则等于（
）
A．
B．1
C．
D．2
6．已知函数（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（　　）
A．2或3
B．3
C．2
D．1
7．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（
）
A．-1
B．-2
C．-3
D．-4
8．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（
）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（
）
A．0<
B．m是偶数，n是奇数
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m、n是偶数，且
10．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
11．有如下命题，其中真命题的标号为（
）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数且的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
12．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（
）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
三、填空题。本大题共4小题。
13．若函数是幂函数，则________．
14．设α∈{﹣2，﹣1，1，2}，则使函数y＝xα为偶函数的所有α的和为__．
15．已知幂函数，经过点，试确定m的值，则满足条件的实数a的取值范围
______．
16．下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
18．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式；
19．已知幂函数满足：
（1）在区间上为增函数
（2）对任意的，都有，
求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
20．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
21．函数和的图像的示意图如图所示，
两函数的图像在第一象限只有两个交点
（1）请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数；
（2）比较的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数,则函数的两个零点为，如果，其中为整数，指出的值，并说明理由．
22．已知幂函数，且在上单调递增.
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
参考答案
1．D
【解析】解：由幂函数的定义得，则或.
当时，，定义域为，图象不过原点；
当时，，其图象也不过原点，故不存在这样的.
故选：
2．C
【解析】解：设，由函数过点，，解得，
，.
故选：.
3．A
【解析】令，分别代入，，，，
得到，，，，
根据图象可知相对应的依次为：
故选：A
4．D
【解析】在上为增函数，
，
即
故选：.
5．A
【解析】由题知是幂函数，则.又图像过点，则由知，故.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.
6．A
【解析】幂函数为偶函数，且在递减，
∴，且是偶数，
由得，又由题设是整数，故的值可能为2或3，
验证知或者3时，都能保证是偶数，故或者3即所求．
故选A
7．C
【解析】幂函数的图象过点，所以，有.
所以.
在区间上单调递增.
所以最小值为.
故选C.
8．A
【解析】
由已知函数是幂函数，
可得，解得或，
当时，，当时，，
对任意的，且，满足，
函数是单调增函数，所以，此时，
又，可知异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则恒大于，故选A.
9．ABC
【解析】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确；
图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确；
则C也正确，D错误．
故选：ABC．
10．ACD
【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
11．BD
【解析】对于A，令，则，解得：，，，A错误；
对于B，令，即时，，恒过定点，B正确；
对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；
对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.
故选：BD.
12．ACE
【解析】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
13．0或
【解析】由函数是幂函数，可得，解得或，
故答案为：0或．
14．0
【解析】符合题意使函数y＝xα为偶函数的α为﹣2和2，
则﹣2+2＝0．
故答案为：0
15．
【解析】∵的图象过点，∴，
∴，又，∴．
即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，
∴由得，解得．
故答案为：.
16．②③④⑤
【解析】解：幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；函数的定义域是，则它的值域是，④错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误，
故答案为：②③④⑤．
17．（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
18．（1）；（2）当时，．
【解析】（1）设，代入点，得，，；
，当时，设，则，
是R上的偶函数，
，即当时，；
19．；值域是．
【解析】因为函数在上递增，
所以，解得，
因为，，所以，，或．
又因为，所以是偶函数，
所以为偶数．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，
所以,
又因为在上递增．
所以，，
故函数的值域是
．
20．（1）；（2）或.
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴
由于此题中，要满足，只需，.
21．（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为.（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】解：（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为.
（Ⅱ）
所以从小到大依次为．
（Ⅲ）计算得
理由如下：
令，
由于，
则函数的两个零点
因此整数
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以有（2-k）（1+k）>0，再结合就搞定.（2）因为在不单调，说明对称轴在上.
（3）g（x）是开口向下的二次函数，我们只需要讨论上的单调性，在内求出最大最小值，即可求解q.
（1）由题意知,解得:.
又
∴或,分别代入原函数,得.
（2）由已知得.
要使函数不单调，则，则.
（3）由已知,.
假设存在这样的正数符合题意,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,
从而必有,解得.此时,,其对称轴,
∴在上的最大值为,符合题意.
∴存在,使函数在区间上的值域为.