3.4 函数的应用（一）课时训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（含解析）

2021-2022学年高一数学同步课时训练（人教A版2019必修第一册）
3.4课时
函数的应用（一）
一、单选题。本大题共18小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）
A．200本
B．400本
C．600本
D．800本
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（
）
A．118元
B．105元
C．106元
D．108元
3．面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（
）
A．2
B．
C．4
D．
5．某企业2012年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2012年度产值的月平均增长率为(　　)
A．
B．－1
C．
D．
6．某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为
A．米，米
B．米，米
C．米,
米
D．米，米
7．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间1（单位：月）的关系为.关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（
）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
8．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　)
A．B．C．D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（
）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
10．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（
）
A．时费用之和有最小值
B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元
D．最小值为万元
11．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（
）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
12．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（
）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
三、填空题。本大题共4小题。
13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
14．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为_________.
15．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为
(万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
16．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是
_____________
；
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
（1）写出函数解析式（可带参数）；
（2）假设气体在半径为3
cm的管道中的流量为400
cm3/s，求该气体通过半径为r
cm的管道时，其流量R的表达式；
18．某车间生产一种仪器的固定成本为10
000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
19．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝
(t∈N
)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
20．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
21．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值（千元）．
22．请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得、、、四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设.
（1）某广告商要求包装盒的侧面积最大，试问应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积最大，试问应取何值？
参考答案
1．C
【解析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选C．
2．D
【解析】
设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.
3．C
【解析】由条件长方形的一边长度为，且面积为.
则另一边长为，且.
所以该长方形的周长.
故选：C.
4．B
【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为，则，故，
若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，
则该四面体的顶点必在长方体的面内，
过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，
含正四面体的几何体必为正方体，
故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，
而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，
需以最小棱长为切割后的正方体的棱长切割才可，
故所求的正四面体模型棱长的最大值.
故选：B.
5．B
【解析】
设月平均增长率为r,1月份产值为1，则2012年12月的产值为：P＝1×(1＋r)11，所以(1＋r)11＝P，即r＝
－1，故选B.
6．C
【解析】设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，
则（元），
当且仅当时，即当时，总造价最低，
此时，污水池的宽为米，长为米.
故选：C.
7．C
【解析】图象过点
，即
每月的增长率为，①正确；
当时，，②正确；
第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，③错误；
，，
，，
，④正确.
故选：
8．B
【解析】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是).
对应的值都是5，
以后每价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
9．ABD
【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
10．BD
【解析】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，
一年的总储存费用为万元，
所以一年的总运费与总储存费用之和为，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，
故选：BD
11．CDE
【解析】解：在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；
在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；
在中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，正确．
故选：．
12．ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
甲厂的费用与证书数量x满足的函数关系为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
易知当时，与x之间的函数关系式为，故D正确
当时，，因为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故E不正确.
故选ABCD
13．2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2
250.
∴每台彩电的原价为2
250元.
故答案为：2250.
14．
【解析】解：在直角中，
所以，
∴，
∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
15．
【解析】设利润为，则，当时，有最大值，
故答案为：18.
16．50辆
【解析】由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，
故答案为50辆
17．（1）；（2）.
【解析】(1)由于流量R与管道半径r的四次方成正比，所以函数解析式为．
(2)由r＝3
cm，R＝400
cm3/s，得k·34＝400，∴，∴流量R的表达式为.
18．（1）；（2）每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元.
【解析】(1)设每月产量为台，则总成本为.又，
(2)当时，，所以当时，有最大值12
500；
当时，是减函数，.
所以当时，f(x)取最大值，最大值为12
500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元.
19．销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
【解析】设日销售金额为元，则
，
即，
当时，，时有最大值900；
当时，是减函数，时有最大值1125.
综上所述，时有最大值1125，
所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.
20．（1）f(x)＝；（2）475件．
【解析】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
21．（1）；（2）千元
【解析】（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可
（1）
（2）时，单调递增，最小值在处取到，；
时，单调递减，最小值在时取到，
单调递减，最小值在时取到，则最小值为，
由，可得最小值为．　
答：该商场日收益的最小值为千元．　
22．（1）；（2）.
【解析】（1）设包装盒的底面边长为，高为，
则由题意可得，，，其中，
所以，
因此，当时，取得最大值；
（2）根据题意，由（1）有，
，由由得，（舍）或.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值.