5.3.2函数的极值与最大（小）值 学案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大（小）值
学案
一、学习目标
1.
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.
能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值；
3.
体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
二、基础梳理
1.
求函数极值的方法步骤：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极________值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极________值.
2.
求函数在区间上的最大值与最小值的方法步骤：
（1）求函数在区间上的________；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.
三、巩固练习
1.设函数，则(
)
A.的极大值点在内
B.的极大值点在内
C.的极小值点在内
D.的极小值点在内
2.函数在上的最小值为(
)
A.
B.
C.0
D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数有(
)
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
4.函数在上有最小值，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.函数的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.0
6.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知(为常数)在上有最大值4，那么此函数在上的最小值为_________________.
9.求函数的极值.
10.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的最大值和最小值.
11.若函数，当时，函数取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
12.已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
参考答案
基础梳理
大；小
极值；最大值；最小值
巩固练习
1.答案：A
解析：依题意，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故选A.
2.答案：B
解析：由，
得.
解，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
又，
所以在上的最小值为.故选B.
3.答案：C
解析：由图可知导函数有三个零点，依次设为，当时，，当时，，所以函数在处取得极小值；当时，，当时，，所以函数在处无极值；当时，，所以函数在处取得极大值.故选C.
4.答案：C
解析：由函数得.
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减.
又由，令，即，解得或.要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得实数的取值范围是.故选C.
5.答案：B
解析：由题得.
令，解得，令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的最大值.故选B.
6.答案：B
解析：，
，
函数既存在极大值，又存在极小值，
导函数有两个不相等的变号零点，
，即，解得或.
实数的取值范围是.故选B.
7.答案：C
解析：.
时，，函数在上单调递增，无最值，舍去.
时，.
由，解得，此时，函数在上单调递增，无最值，舍去.
由，解得，又，由，解得.
当时，，因此，函数在上单调递增，无最值，舍去.
当时，，因为函数在上有最大值无最小值，
所以，解得.
综上可得实数的取值范围是.故选C.
8.答案：
解析：因为，所以，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值4，即，解得.
所以，
所以，
可得当时，函数取得最小值.
9.答案：函数的定义域为，
.
令，得，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
0
2
0
+
0
极小值0
极大值
因此当时，取得极小值，且极小值为；
当时，取得极大值，且极大值为.
10.答案：（1）.
由，得或；
由，得.
因此，函数在上的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
又，且，
所以在上的最大值为，
最小值为.
11.答案：（1），
由题意得解得
.
（2）由（1）可得.
令，得或.
当时，；当时，；当时，.
当时，取得极大值，当时，取得极小值.
函数的大致图象如图.
由图可知的取值范围是.
12.答案：（1）.
令，解得或，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，所以.
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有，解得.
所以，所以，
即函数在区间上的最小值为.