6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
一、学习目标
1.
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2.
了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3.
能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
二、基础梳理
1.
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有__________种不同的方法.
2.
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有__________种不同的方法.
3.
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
区别
每类方法都能独立完成这件事
各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系
都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
4.
用两个计数原理解决计数问题时的注意点：
（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
三、巩固练习
1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数的个数为(
)
A.12
B.18
C.24
D.30
2.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(
)
A.8种
B.9种
C.10种
D.11种
3.从集合中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有(
)
A.30个
B.42个
C.36个
D.35个
4.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(
)
A.18种
B.9种
C.6种
D.3种
5.如果，且，那么满足条件的不同的有序自然数对的个数是(
)
A.15
B.12
C.5
D.4
6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为(
)
A.64
B.56
C.53
D.51
7.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(
)
A.120
B.260
C.340
D.420
8.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成_______________种不同的信号.
9.甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________________种推选方法.
10.已知集合，集合，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有______________种.
11.某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从两人中安排一人，第四节课只能从两人中安排一人，则不同的安排方案共有________________种.(用数字作答)
12.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?
（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?
（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法?
参考答案
基础梳理
巩固练习
1.答案：B
解析：分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用了2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个数位上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个数位上，有2种方法，故有个不同的四位数.故选B.
2.答案：B
解析：设四位监考教师分别为，所教班级分别为.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同的方法.同理A监考时，也分别有3种不同的方法.由分类加法计数原理得，监考方法共有种.
故选B.
3.答案：C
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b，且，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有个虚数.故选C.
4.答案：A
解析：由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球还剩2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种.故选A.
5.答案：A
解析：分情况讨论：①当时，，有6种情况；②当时，，有5种情况；③当时，，有4种情况.由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对的个数是.故选A.
6.答案：C
解析：由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，其中，，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为.故选C.
7.答案：D
解析：如图，若区域①与③颜色相同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域④有3种涂法，区域⑤有3种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有种；
若区域①与③颜色不同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域③有3种涂法，区域④有2种涂法，区域⑤有2种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有种.
综上，由分类加法计数原理可知不同的涂色方案种数为.故选D.
8.答案：39
解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号.
9.答案：31
解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法.综上，根据分类加法计数原理共有种推选方法.
10.答案：7
解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种情况；当集合C中的元素属于集合B时，有4种情况.集合A与集合B无公共元素，集合C的情况共有种.
11.答案：36
解析：分两类：第一类，第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法；第二类，第一节课若安排B，则第四节课可安排A或C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法.因此不同的安排方案有种.
12.答案：（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分类加法计数原理，知共有种不同的选法.
（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法.
（3）分三类，每类又分两步.第一类，从高一、高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第三类，从高二、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法.故共有种不同的选法.