6.3.2二项式系数的性质学案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质学案
一、学习目标
1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值.
2.会求二项式系数的和或某些项的系数的和.
二、基础梳理
二项式系数的性质：
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2.增减性与最大值：因为，即，所以，当时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小.
当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.
3.各项式系数的和：的展开式的各二项式系数的和等于.
三、巩固练习
1.已知，则的值等于(
)
A.64
B.32
C.63
D.31
2.若，且，则实数(
)
A.1或
B.1或3
C.
D.1
3.若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为(
)
A.10
B.
C.5
D.
4.的展开式的中间项为(
)
A.
B.
C.24
D.
5.若的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中含的项的系数为(
)
A.1
B.5
C.10
D.20
6.的展开式中，系数最大的项是(
)
A.第项
B.第项
C.第项
D.第项与第项
7.已知对任意恒成立，若，则(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
8.若且，则在展开式的各项系数中，最大值等于_________________.
9.二项式展开式中，第三项的系数为______；所有的二项式系数之和为_________.
10.设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_______________.
11.在的展开式中.求：
(1)所有项的系数和；
(2)的系数；
(3)系数最大的项.
12.已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以，所以，因此，故选C.
2.答案：A
解析：因为，所以令得，所以或，解得或.故选A.
3.答案：A
解析：由二项式系数之和为32，即，可得，展开式的通项.令，得.所以常数项为，故选A.
4.答案：D
解析：由题意得，展开式的中间项为第3项，即为，故选D.
5.答案：C
解析：令，得，解得，则的展开式的通项公式为，令，解得，故该展开式中含的项的系数为.故选C.
6.答案：C
解析：在的展开式中，第项的系数与该项的二项式系数相同，易知该式的展开式共有项，所以第项的系数最大，故选C.
7.答案：C
解析：令，则，则，又，故，即，解得.故选C.
8.答案：20
解析：由题意可知，所以，
即，
即，解得或(舍去).
故展开式各项系数中，最大值为.
9.答案：40；32
解析：二项式展开式的通项为，当时，第三项的系数为.
所有的二项式系数之和为.
10.答案：112
解析：由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得，则的通项为.令，得，则展开式中的常数项为.
11.答案：(1)令，可得该展开式中所有项的系数和为.
(2)该展开式的通项公式为，，令，解得，
故的系数为.
(3)设第项的系数最大，
则
解得，又，所以，
故该展开式中系数最大的项为.
12.答案：(1)由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得，所以，
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.
因为的展开式的通项为，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
(2)由(1)知，且的展开式中含的项为，
含的项为，
所以展开式中常数项为.