第2章专题6 基本不等式（三）与其他知识相结合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）（Word版含解析）

1258570011239500基本不等式（三）
考向一 求分式函数的最值
1、若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.[13,+∞) B.(13,+∞) C.(15,+∞) D.[15,+∞)
2、已知false,则f(x)= false有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
3、函数f(x)=?x2+x?4x(x>0)的最大值为______,此时x的值为______.
4、设x<1，则x2?x+1x?1的值域为_________
5、函数false的最小值是__________.
6、（1）已知false，求函数false的最小值．
（2）求函数false的最大值．
（3）求false的最大值．
7、若当false时，则函数false的最大值



8、 若当false时，false的最小值
9、函数false 的最小值和最大值



10、函数false的最小值

11、求函数y＝(x>1)的最小值．

12、函数false的最小值
考向二 多次应用基本不等式
1.已知false，false，则false的最小值是（　 　）
A．2 B．false C．4 D．5
2.已知false，false，则false的最小值为（ 　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
3.已知false，则false的最小值为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．false
4.若false，false，则false的最小值为　 　
考向三 建立函数模型利用基本不等式求最值
1、宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形，边长分别为false，三角形的面积false可由公式false求得，其中false为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足false，则此三角形面积的最大值为( )
A．false B．false C．false D．false
2、某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（　）
A．大于10g B．小于10g C．大于等于10g D．小于等于10g
3、若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.
4、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

5、某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
6、某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
7、货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w=kx2，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶.
8、在经济学中，函数false的边际函数false定义为false．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产false台false的收益函数为false （单位：万元），成本函数false（单位：万元），该公司每月最多生产false台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数false及边际利润函数false；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到false）
（3）求false为何值时利润函数false取得最大值，并解释边际利润函数false的实际意义．
9、近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产false（千部）手机，需另投入成本false万元，且 false，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（false）求出2020年的利润false（万元）关于年产量false（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
false2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
1258570011239500基本不等式（三）
考向一 求分式函数的最值
1、若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.[13,+∞) B.(13,+∞) C.(15,+∞) D.[15,+∞)
【答案】D
2、已知false,则f(x)= false有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【解析】false
当false即false或false（舍去）时， false取得最小值false
3、函数f(x)=?x2+x?4x(x>0)的最大值为______,此时x的值为______.
【答案】 (1). -3 (2). 2
4、设x<1，则x2?x+1x?1的值域为_________
【答案】?∞,?1
5、函数false的最小值是__________.
【答案】false
【解析】
由于false，故false，故false，当且仅当false，即false时，函数取得最小值为false.
故填：false.
6、（1）已知false，求函数false的最小值．
（2）求函数false的最大值．
（3）求false的最大值．
【答案】⑴ false；⑵ 最大值为false．⑶ false的最大值为false．
7、若当false时，则函数false的最大值
答案false
8、 若当false时，false的最小值
答案false
9、函数false 的最小值和最大值
答案：最小值false ，最大值false
10、函数false的最小值

【答案】false
11、求函数y＝(x>1)的最小值．
∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2
≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，
即x＝4时取“＝”号．
∴当x＝4时，y取得最小值8.
12、函数false的最小值
【答案】7
考向二 多次应用基本不等式
1.已知false，false，则false的最小值是（　 　）
A．2 B．false C．4 D．5
【答案】C
2.已知false，false，则false的最小值为（ 　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
3.已知false，则false的最小值为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．false
【答案】B
4.若false，false，则false的最小值为　 　
【答案】4
考向三 建立函数模型利用基本不等式求最值
1、宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形，边长分别为false，三角形的面积false可由公式false求得，其中false为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足false，则此三角形面积的最大值为( )
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【解析】由题意，p＝10，
Sfalse8false，
∴此三角形面积的最大值为8false．故选：C．
2、某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（　）
A．大于10g B．小于10g C．大于等于10g D．小于等于10g
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a>b），
先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2 ．由杠杆的平衡原理：bm1=a×5，am2=b×5 ．解得m1=5ab，m2=5ba，则m1+m2=5ba+5ab．
下面比较m1+m2与10的大小：
因为m1+m2?10=5ba+5ab?10≥25ba?5ab?10=0，又因为a≠b ，所以，m1+m2?10>0，即m1+m2>10 ．这样可知称出的黄金质量大于10g ．故选：A
3、若矩形的长和宽分别为a,b，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.
【答案】102
【解析】
由已知得，a2+b2=25，所以ab=(a+b)2?252，因为，所以，所以a+b鈮?2，当且仅当a=b=522时取等号，所以该矩形的周长的最大值为102.
故答案为102.
4、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0 ∵00.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
5、某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
【答案】（1）S＝38 000＋4 000x2＋false (0＜x＜10false)；（2）至少要投入11.8万元。
【解析】(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，即y＝false.
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×falsey2
＝38 000＋4 000x2＋false (0＜x＜10false)．
(2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋false
≥38 000＋2false＝118 000，
当且仅当4 000x2＝false，即x＝false时取等号．
因为118 000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
6、某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.
【解析】
令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，
则，
，
∵，
∴，
当且仅当即时取等号，
答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.
7、货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w=kx2，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶.
【答案】（1）y=f(x)=150(x+400x)(0【解析】
【分析】
（1）由题意，每小时的燃料费用为w=kx2，当x=30时，900k=450，解得k．从甲地到乙地所用的时间为300x小时，可得从甲地到乙地的运输成本：y=0.5x2·300x+200·300x(0【详解】
由题意，每小时的燃料费用为w=kx2，
当x=30时，900k=450，解得k=0.5
从甲地到乙地所用的时间为300x小时，则从甲地到乙地的运输成本：
y=0.5x2·300x+200·300x(0=150(x+400x)．
故所求的函数为y=f(x)=150(x+400x)(0（2）由（1）得：y=150(x+400x)?150×2x·400x=6000，当且仅当x=400x，即x=20时取等号．
故当货轮航行速度为20海里/小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元．
8、在经济学中，函数false的边际函数false定义为false．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产false台false的收益函数为false （单位：万元），成本函数false（单位：万元），该公司每月最多生产false台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数false及边际利润函数false；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到false）
（3）求false为何值时利润函数false取得最大值，并解释边际利润函数false的实际意义．
【答案】（1）falsefalse；falsefalsefalse；（2）false台，false万元；（3）false或false；false反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【解析】
（1）由题意知：false且false，
falsefalse，
false
false.
（2）每台医疗器材的平均利润falsefalse，当且仅当false时等号成立.
因为false，当每月生产false台机器时，每台平均约为false万元，每月生产false台时，每台平均约为false万元，故每月生产false台时，每台医疗器材的平均利润最大为false万元.
（3）false，
由false，得false，此时false随false增大而增大，
由false得false，此时false随false增大而减小，
false或false时，false取得最大值.
false反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
9、近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产false（千部）手机，需另投入成本false万元，且 false，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（false）求出2020年的利润false（万元）关于年产量false（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
false2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（Ⅰ）false（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【解析】（Ⅰ）当false时，false；
当false时，false，
false false.
（Ⅱ）若false，false，
当false时，false万元 .
若false，false，
当且仅当false时，即false时，false万元 .
false2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.