函数的单调性
考向一 函数单调性的证明
1、根据定义证明函数false在区间false上单调递增。
2、已知函数false,false∈[0,2],用定义证明f(x)在区间false上是增函数.
3、利用定义法证明:函数 f(x)=x2+1?x 在定义域内是减函数.
4、已知函数f(x)=2x+1.判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
5、利用定义求函数false的单调区间.
6、已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.求证:f(x)是R上的单调减函数.
7、已知函数false的定义域为false,对任意实数false都有false,且当false 时,false.
(1)证明: false且false时,false;
(2)证明: false在false上单调递减.
考向二 函数单调性的判断
1、下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=3-x D.y=x2+2x+1
2、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )
A.false B.false C.false D.false
3、下列函数值中,在区间false上不是单调函数的是( )
A.false B.false C.false D.false
4、函数 y=x2?6x+10 在区间 (2,4) 上是( )
A.递减函数 B.递增函数 C.先递增再递减 D.先递减再递增5. 若函数 f(x) 在区间 [1,3] 上是增函数,在区间 (3,5] 上也是增函数,则函数 f(x) 在区间 [1,5] 上( )
A.一定是增函数 B.不一定是增函数 C.一定是减函数 D.是增函数或减函数
6、设 f(x) 、 g(x) 都是单调函数,有如下四个命题①若 f(x) 单调递增,g(x) 单调递增,则 f(x)?g(x) 单调递增;②若 f(x) 单调递增,g(x) 单调递减,则 f(x)?g(x) 单调递增;③若 f(x) 单调递减,g(x) 单调递增,则 f(x)?g(x) 单调递减;④若 f(x) 单调递减,g(x) 单调递减,则 f(x)?g(x) 单调递减.其中,正确的命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④7、已知false定义在同一区间上,false是增函数,false是减函数,且false,则( )
A.false为减函数 B.false为增函数
C.false为减函数 D.false为增函数
8、(多选)下列函数false中,满足“对任意的false,false,当false时,都有false”的是false false
A.false B.false C.false
D.false E.false
9、下列函数中,对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)?f(x2)x1?x2>0成立的是( )
A.y=?xx+1B. y=|x|+|x+2|C. y=?|x|D. y=x2?3x
10、下列命题中正确的有________.① 若 f(x) 是增函数,且 f(x)>0,则 1f(x) 是减函数;② 若 f(x) 是减函数,则 ?f(x) 是增函数;③ 若 f(x) 是增函数,g(x) 是减函数,则 f(x)?g(x) 为增函数.
函数的单调性
考向一 函数单调性的证明
1、根据定义证明函数false在区间false上单调递增。
证明:false
false
false
false
所以,函数false在区间false上单调递增。
2、已知函数false,false∈[0,2],用定义证明f(x)在区间false上是增函数.
证明:设false ,则false.
由false ,
得false ,
所以false ,即false ,
故f(x)在区间false 上是增函数.
3、利用定义法证明:函数 f(x)=x2+1?x 在定义域内是减函数.
答案:略
解析:在定义域内任意取 x1,x2,且 x10所以 f(x1)>f(x2)函数 f(x)=x2+1?x 在定义域内是减函数4、已知函数f(x)=2x+1.判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
答案:f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数
解析:f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数,证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞)且x10,x1+1>0,x2+1>0∴f(x1)?f(x2)>0即f(x1)>f(x2)∴f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数.
5、利用定义求函数false的单调区间.
【答案】增区间为false和false,减区间为false和false
【解析】由题意函数false的定义域为false,
取false,false,
则false
false,
当false时,false,false,false,
此时false,false,false单调递增;
当false时,false,false,false,
此时false,false,false单调递减;
当false时,false,false,false,
此时false,false,false单调递减;
当false时,false,false,false,
此时false,false,false单调递增;
综上,函数false的单调增区间为false和false,减区间为false和false.
6、已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.求证:f(x)是R上的单调减函数.
【答案】见解析
【解析】(1)证明:设x1,x2是任意的两个实数,且x1 则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2) 所以f(x)是R上的单调减函数.
7、已知函数false的定义域为false,对任意实数false都有false,且当false 时,false.
(1)证明: false且false时,false;
(2)证明: false在false上单调递减.
【答案】证明:(1)令false,false,代入false中得:
false(1)false,即false(1)false(1)false,
false,false(1)false,false
当false时,false,故得false,令false,false,则false,代入false中得:
false,false
(2)设false,则false且false,false,
falsefalsefalse,
false,false,false,
false,false,false在false上单调递减.
考向二 函数单调性的判断
1、下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=3-x D.y=x2+2x+1
答案:C
解析:函数y=3-x在区间(0,+∞)上是减函数.
2、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )
A.false B.false C.false D.false
答案:C
解析:A选项在false 上是增函数;B选项在false 是减函数,在false 是增函数;C选项在false是减函数;D选项false 在false是减函数,在false是增函数;故选C.
3、下列函数值中,在区间false上不是单调函数的是( )
A.false B.false C.false D.false
答案:D
解析:由一次函数的性质可知,false在区间false上单调递增;
由二次函数的性质可知,false在区间false上单调递增;
由幂函数的性质可知,false在区间false上单调递增;
结合一次函数的性质可知,false在false上单调递减,在false 上单调递增. 故选:D.
4、函数 y=x2?6x+10 在区间 (2,4) 上是( )
A.递减函数 B.递增函数 C.先递增再递减 D.先递减再递增
答案:D
解析:因为 y=x2?6x+10=(x?3)2+1,所以函数在 (?∞,3] 上为减函数,在 [3,+∞) 上为增函数,所以函数在 (2,4) 上先递减再递增.5. 若函数 f(x) 在区间 [1,3] 上是增函数,在区间 (3,5] 上也是增函数,则函数 f(x) 在区间 [1,5] 上( )
A.一定是增函数 B.不一定是增函数 C.一定是减函数 D.是增函数或减函数
答案:B
解析:在3处左侧的极限值小于等于3右侧的极限值才是增函数
6、设 f(x) 、 g(x) 都是单调函数,有如下四个命题①若 f(x) 单调递增,g(x) 单调递增,则 f(x)?g(x) 单调递增;②若 f(x) 单调递增,g(x) 单调递减,则 f(x)?g(x) 单调递增;③若 f(x) 单调递减,g(x) 单调递增,则 f(x)?g(x) 单调递减;④若 f(x) 单调递减,g(x) 单调递减,则 f(x)?g(x) 单调递减.其中,正确的命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案:C
解析: ∵ 当 g(x) 是单调增函数时,?g(x) 是单调减函数,g(x) 是单调减函数时,?g(x) 是单调增函数,∴ 根据两个单调增函数相加是增函数,两个单调减函数相加是减函数这一原理,易知 ② ③ 正确.7、已知false定义在同一区间上,false是增函数,false是减函数,且false,则( )
A.false为减函数 B.false为增函数
C.false为减函数 D.false为增函数
【答案】B
8、(多选)下列函数false中,满足“对任意的false,false,当false时,都有false”的是false false
A.false B.false C.false
D.false E.false
【答案】AD
9、下列函数中,对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)?f(x2)x1?x2>0成立的是( )
A.y=?xx+1B. y=|x|+|x+2|C. y=?|x|D. y=x2?3x
答案:B
解析:单调性定义+判断因为x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)?f(x2)x1?x2>0,所以f(x)在(0+∞)上是增函数A.y=?x1+x=?1+1x+1是减函数.B.x>0时,y=2x+2, y=|x|+|x+2|在(0,+∞)是增函数C. y=?|x|在(0,+∞)是减函数。D. y=x2?3x在(0,+∞)是减函数
10、下列命题中正确的有________.① 若 f(x) 是增函数,且 f(x)>0,则 1f(x) 是减函数;② 若 f(x) 是减函数,则 ?f(x) 是增函数;③ 若 f(x) 是增函数,g(x) 是减函数,则 f(x)?g(x) 为增函数.
答案:①②③
解析:根据函数的判定口诀,可知三种判断关系均正确.