第3章专题8 函数的奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）（Word版含解析）

函数的奇偶性
考向一 函数奇偶性的判断
1、下列函数中，是奇函数的为(??? ).
A.false B.false C.false D.false
2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝false＋false；
(2)f(x)＝false
3、判断函数f(x)={x2?2x+5,(x>0)1,(x=0)?x2?2x?5,(x<0)的奇偶性．
4、已知函数 y=f(x)(x≠0) 对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．
(1) 求 f(1)，f(?1) 的值；
(2) 判断函数 y=f(x)(x≠0) 的奇偶性．
5、函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x) 为奇函数．
6、判断下列图像中哪个可以表示偶函数
7、函数false的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．
8、已知false，则“false”是“false是偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9、如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )
(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)
(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)
考向二 奇偶性的性质
1、偶函数false在区间false上的图象如图，则函数false的增区间为______________．
2、已知函数false.
（1）判断false的奇偶性，由此作出false的大致图象；
（2）求false的值域和单调区间.
考向三 根据函数的奇偶性求参数的值
1、若函数false是偶函数，则false等于____.
2、已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a?1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是(　　)
A．?13 B．13C．12 D．?12
3、若函数false在false上是奇函数，则false的解析式为（ ）．
A.false B.false
C.false D.false
4、已知函数f(x)＝false为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
考向四 根据奇偶性求函数值或解析式
1、如图,给出奇函数false的局部图象，则false的值为( )
A．false B．2 C．1 D．0
2、已知函数false为奇函数，若false，则false　　．
3、已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f(x)=x2?2x ，则 f(x) 在R 上的表达式为(　　)
A．f(x)=x(x?2) B．f(x)=x(|x|?1) C．f(x)=|x|(x?2) D．f(x)=x(|x|?2)
4、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)=x2+|x|?x，那么 x<0 时，f(x)= ________
5、已知false是偶函数，false是奇函数，若false，则false的解析式为_______．
函数的奇偶性
考向一 函数奇偶性的判断
1、下列函数中，是奇函数的为(??? ).
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【解析】对函数false，由于false，因此false，定义域为false，false，因此false为奇函数．
故选A．
2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝false＋false；
(2)f(x)＝false
【解析】(1)由false得x2＝3，解得x＝±false，
即函数f(x)的定义域为{－false，false}，
从而f(x)＝false＋false＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
3、判断函数f(x)={x2?2x+5,(x>0)1,(x=0)?x2?2x?5,(x<0)的奇偶性．
【答案】非奇非偶函数
【解析】1．先判断函数的定义域为R，所以是关于原点对称2．不妨设x>0，则f(x)=x2?2x+5，同时会有?x<0，则有f(?x)=?(?x)2+2x?5=?x2+2x?5=?f(x)3．因为f(0)≠0，所以函数是非奇非偶函数。
4、已知函数 y=f(x)(x≠0) 对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．
(1) 求 f(1)，f(?1) 的值；
【答案】f(1)=0，f(?1)=0
【解析】令 x=y=1 即可得 f(1)，令 x=y=?1 即可得 f(?1)=0．因为对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．所以令 x=y=1，得到 f(1)=f(1)+f(1)．所以 f(1)=0．令 x=y=?1，得到 f(1)=f(?1)+f(?1)．所以 f(?1)=0．
(2) 判断函数 y=f(x)(x≠0) 的奇偶性．
【答案】偶函数
【解析】令 y=?1，得 f(xy)=f(?x)=f(x)+f(?1)，由 (1) 可得偶函数．由题意可知，函数 y=f(x) 的定义域为 (?∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称．令 y=?1，得 f(xy)=f(?x)=f(x)+f(?1)．因为 f(?1)=0．所以 f(?x)=f(x)．所以 y=f(x)(x≠0) 为偶函数．
5、函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x) 为奇函数．
【答案】略
【解析】由于对任意的 x∈(?l,l) 也必有 ?x∈(?l,l)，可见，f(?x) 的定义域也是 (?l,l)．若设 F(x)=f(x)+f(?x)，G(x)=f(x)?f(?x)，则 F(x) 与 G(x) 的定义域都是 (?l,l)，显然是关于原点对称的区间．而且 F(?x)=f(?x)+f[?(?x)]=f(x)+f(?x)=F(x)，故 F(x) 为偶函数． G(?x)=f(?x)?f[?(?x)]=f(?x)?f(x)=?[f(x)?f(?x)]=?G(x)，故 G(x) 为奇函数．
6、判断下列图像中哪个可以表示偶函数
【答案】B
【解析】A虽然是轴对称图像，但对称轴不是y轴，所以不是偶函数图像，当然也不是奇函数图像;B关于y轴对称，是偶函数图像;C乍一看上去是中心对称图像，但是要注意，对称性是对图像上任意的一点都满足，x=0和x=3或x=?3时并不满足，所以不是奇函数;D选项最明显，不是奇函数图像也不是偶函数图像;E不关于y轴对称，也不关于原点对称，不是奇函数也不是偶函数;F：首先图像必须为函数图像（回忆函数定义），x=0处对应两个函数值，并不是函数图像,所以F不表示奇偶函数图像．
7、函数false的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．
【答案】奇函数
【解析】
由已知得false 的定义域为false 即false ，则falsefalse 其定义域关于原点对称，false ，所以false 是奇函数.
8、已知false，则“false”是“false是偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
因为false是偶函数，所以false
所以false.所以“false”是“false是偶函数”的充要条件.故选C.
9、如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )
(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)
(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)
【答案】B
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.
对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.
对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,
对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.
考向二 奇偶性的性质
1、偶函数false在区间false上的图象如图，则函数false的增区间为______________．
【答案】false和false
【解析】偶函数的图象关于false轴对称，可知函数false的增区间为false和false
2、已知函数false.
（1）判断false的奇偶性，由此作出false的大致图象；
（2）求false的值域和单调区间.
【答案】（1）偶函数，图象见解析；（2）值域为false，增区间为false和false，减区间为false和false.
【解析】（1）对于函数false，false，解得false，
所以，函数false的定义域为false，
又false，所以，函数false为偶函数.
false，函数false的大致图象如下图所示：
（2）由图象可知，函数false的值域为false，
单调递增区间为false和false，单调递减区间为false和false.
考向三 根据函数的奇偶性求参数的值
1、若函数false是偶函数，则false等于____.
【答案】1
【解析】由于函数false是偶函数，
所以false即false，
所以false恒成立，所以false.
2、已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a?1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是(　　)
A．?13 B．13C．12 D．?12
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，，且 f(x) 是定义在 [a?1,2a] 上的偶函数，得 a?1=?2a，解得 a=13，又 f(?x)=f(x)，∴b=0，∴a+b=13．，故选 B
3、若函数false在false上是奇函数，则false的解析式为（ ）．
A.false B.false
C.false D.false
【答案】B
【解析】false函数false在false上是奇函数
false，
即false，false，false
即false
false，false
解得false
则false
故选false
4、已知函数f(x)＝false为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
【答案】2.
【解析】因为函数false为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.
又false，所以b＝1.故a＋b＝2.
考向四 根据奇偶性求函数值或解析式
1、如图,给出奇函数false的局部图象，则false的值为( )
A．false B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】由图知false，
又false为奇函数,所以false.
故选A.
2、已知函数false为奇函数，若false，则false　　．
【答案】1
【解析】因为函数y＝f（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以
f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1
3、已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f(x)=x2?2x ，则 f(x) 在R 上的表达式为(　　)
A．f(x)=x(x?2) B．f(x)=x(|x|?1) C．f(x)=|x|(x?2) D．f(x)=x(|x|?2)
【答案】D
【解析】当x<0,?x>0,f(x)=?f(?x)=?x2?2x又当x≥0 时， f(x)=x2?2x综上，f(x)=x(|x|?2)
4、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)=x2+|x|?x，那么 x<0 时，f(x)= ________
【答案】?x2
【解析】当 x<0 时，则?x>0将 ?x 代入 f(x) 解析式，得到 f(?x)=x2+|x|+x因为f(x) 是奇函数所以 f(x)=?f(?x)=?x2?|x|?x=?x2
5、已知false是偶函数，false是奇函数，若false，则false的解析式为_______．
【答案】false