四川省成都外国语学校2012届高三第六次月考数学（文）试题

试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号准确无误地填写、填涂在答题卡规定的位置上；
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ｉ卷
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合要求）
1．函数的反函数为
A． B．
C． D．
2．设全集是实数集，，若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．下列四个命题中的真命题为
A． B．
C． D．若，则a、b、c成等比数列
4．若=，且，则等于
A． B． C． D．
5．如果数列，，，…，，…是首项为，公比为的等比数列，则等于
A． B． C． D．
6.给出下面四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行
③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行
④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等
其中正确的命题有
A．1 B．2 C．3 D．4
7．定义两种运算：，，则函数为
　 A．非奇函数且非偶函数奇函数 B．偶函数
　C．奇函数且为偶函数 D．奇函数
8．若 △ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 ，则的值为
A． B． C． D．
9．设为实数，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．在我校的一项竞赛活动中，高中三个年级分别有名、名、名学生获奖， 这名学生排成一排合影，要求同年级任意两名学生不能相邻，那么不同的排法种数是
A．72种 B．96种 C．120种 D．144种
11. 图为函数轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为
A． B．C． D．
12．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答卷的横线上．
13．设常数，展开式中的系数为， 。
14．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等且为1，在底面内的射影为的中心，则三棱柱体积等于 。
15．定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 .
16.若函数在给定区间M上存在正数t，使得对于任意，有，且，则称为M上的t级类增函数。给出4个命题
①函数上的1级类增函数
②函数上的1级类增函数
③若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
④若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
以上命题中为真命题的是
三、解答题：本大題共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（12分）在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积.
18.（12分）高三年级班参加高考体检，个班中，任选个班先参加视力检查．
（I）求这个班中恰有个班班级序号是偶数的概率；
(II)设为这个班中两班序号相邻的组数（例如：若选出的班为班，则有两组相邻的班和班，此时的值是）．求为1的概率。
19.（12分）如图已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，， ．
（I）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
(II)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
20．（12分）如图，在半圆中，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
（I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(II)过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。
21.（12分）已知在数列中，，是其前项和，且
（I）求；
(II)证明：数列是等差数列；
(III)若(),求数列的和。
22. (14分)设函数(其中)的图象在处的切线与直线平行．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求函数在区间[0,1]的最小值；
(Ⅲ)若,, ,且,
试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:．
成都外国语学校高2012届四月月考试题数学试题参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D理C文 C A理B文 A D理A文 B D A C C C理C文 B理D文
填空题
13. 理：-1 文： 14. 15. 16 . 理：①④ 文：③
三、解答题：
17.（Ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴，又
∴
18.解析：（I）记“这3个班恰有一个班级序号是偶数”为事件A，则；（理）(II)随机变量的取值为的分布列为
0 1 2
P
所以的数学期望为
（文）
19.解：（I）线段的中点就是满足条件的点．…1分
证明如下：
取的中点连结，则
，， …………………2分
取的中点，连结，
∵且，
∴△是正三角形，∴．
∴四边形为矩形，∴．又∵，………3分
∴且，四边形是平行四边形．…………4分
∴，而平面，平面，∴平面．……6分
（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴， 是平面与平面所成二面角的棱．……8分
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．………………10分
设，则，，
∴，
∴． ………12分
（法2）∵，平面平面，
∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．
∴，，…………………8分
设平面的法向量为，
则且，
∴∴解之得
取，得平面的一个法向量为. ………10分
又∵平面的一个法向量为． ……11分
．………12分
20．（理）∵，=0∴垂直平分线段，
即，所以，由椭圆定义：
曲线C的方程为+y2=1 5分
（文）解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，
O为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．
∴曲线C的方程为+y2=1 5分
（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，
又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
∵，∴．
∴ ，． 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得． 10分
同理，由可得：．
∴ ，是方程的两个根，
∴ ． 12分
21.【解析】（I）；
(II)由条件可得，
两边同除以，得：
所以：数列成等差数列，且首项和公差均为1
（理）(III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.
当时，
平方则
叠加得
又
=
（文）(III) (III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以；
分情况讨论：1.当时，；2.当，时；
3.当时，①，
②，①②得：
，
（文）解：(Ⅰ)因为,
所以 ……………………………………………………(2分)
解得m=－1或m=－7(舍),即m=－1 ……………………………………………………(4分)
(Ⅱ)由,解得 ………………(5分)
列表如下:
x 0 (0,) (,1) 1
－ ＋
f(x) 2 ↘ ↗ 2
……(7分)
所以函数在区间[0,1]的最小值为 …………………… (8分)
(Ⅲ)因为 …………… (10分)
由(Ⅱ)知,当x∈[0,1]时, ,所以,
所以 ………………………………………(13分)
当,,,且时, ,,,
所以(12分)
又因为,
所以 ………………………………… (13分)
故(当且仅当时取等号) (14分)
y
x
O
P
M
Q
N
A
B
C