黑龙江省哈尔滨九中2012届高三第三次模拟考试数学（理）试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚；
选择题必须使用２Ｂ铅笔填涂；
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题　共60分）
一、选择题（本大题共１２小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
１．已知复数，则（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
２．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这人的入园顺序排法种数为（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
３．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
4．函数，在区间上的简图是（　　　）
５．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　
Ｃ．　　　 Ｄ．
６．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，若，则（　　　）
　Ａ． 　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
７．在锐角中，，则的取值范围是（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
８．若向量是单位向量，，则的取值范围是（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
９．（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
１０．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（　　　）
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
１１．如图是用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）的程序框图，则阅读程序框图并根据下表信息求出第一次满足条件的近似解为（ ）
Ａ．　　　
Ｂ．　　　
Ｃ．　　　
Ｄ．
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0
（2.5，3） f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
（2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2. 625)>0 2.5625 f(2.5625)<0
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0 2.59375 f(2. 59375)>0
（2.5625,2.59375） f(2.5625)<0，f(2.59375)>0 2.578125 f(2.578125)<0
(2.578125,2.59375) f(2.578125)<0,f(2.59375)>0
１２．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（　　　）
　Ａ．个　　　Ｂ．个　　　Ｃ．个　　　Ｄ．个
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共２0分）
１３．的展开式中，常数项为　　　　　．
１４．，则的最小值是　　　　　．
１５．设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为　　　　　．
１６．如图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，则点到平面的距离是　　　　　．
三、解答题（本大题共６题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
１７．已知数列的各项均为正数，前项和为，且
（1）求证数列是等差数列；
（2）设…，求。
１８．如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．
　（１）求三棱锥的体积；
　（２）求直线与平面所成角的正弦值；
　（３）若棱上存在一点，使得，当二面角的大小为时，求实数的值．
１９．改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村到年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，年编号为，年编号为，…，年编号为．数据如下：
年份（） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
人数（） ３ ５ ８ １１ １３ １４ １７ ２２ ３０ ３１
　（１）从这年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有年多于人的概率；
　（２）根据前年的数据，利用最小二乘法求出关于的回归方程，并计算第年的估计值和实际值之间的差的绝对值。
　
２０．已知过点的动直线与抛物线相交于两点．当直线的斜率是时，．
　（１）求抛物线的方程；
　（２）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．
２１．已知．
　（１）求的单调区间；
　（２）证明：当时，恒成立；
　（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．
22，23为选修题目，两题选择一个作答，如果两题都答，则按第一题评分。
２２．如图，已知点，圆是以为直径的圆，直线，（为参数）．
　（１）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
　（２）过原点作直线的垂线，垂足为，若动点满足，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
２３． （１）解关于的不等式；
　　　（２）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
哈九中三模数学（理科）答案
一、选择题
BCDADC DABABC
二、填空题
57； ；15；
三、解答题
（2）由（1）可得 （8’） （10’）
18.（1）在中，
. （3’）
（2）以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
（4’）
,设平面的法向量为，
由得， （5’）
则，
. （7’）
（3）
设平面的法向量为，由得， （10’）
（12’）
20.（1）B,C，当直线的斜率是时，
的方程为，即 （1’）
联立 得， （3’）
由已知 , （4’）
由韦达定理可得G方程为 （5’）
（2）设：，BC中点坐标为 （6’）
得 由得 （8’）
BC中垂线为 （10’）
（11’）
（12’）
21.（1）g(x)=lnx+，= （1’）
当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；
当k>0时，>0,得x>k；<0，得0(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表
x 1 (1,e) e (e,+)
－ 0 +
h(x) e－2 ↘ 0 ↗
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e （5’）
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立. (8’)
22.（1）圆C的普通方程为， （2’）
极坐标方程为。 （4’）
（2）直线l的普通方程为， （5’）
点 （7’）
（9’）
点M轨迹的参数方程为，图形为圆 （10’）