解直角三角形
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(共22张PPT)
教学目标：
1、继续经历将实际问题化归为直角三角形问题的过程，
探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用；
2、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际
问题；
3、进一步体会数形结合和函数思想的运用；
重点：解直角三角形的运用；
难点：例题分析
2.两种情况:
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
1. 解直角三角形.
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图， 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例1
如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
你会解吗？
例1
如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
在Rt△BDE中，
∵ BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
∴AB＝BE＋AE ＝ AC×tan a ＋CD ＝9.17＋1.20≈10.4（米）
答: 电线杆的高度约为10.4米．
解：
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角 a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．算出旗杆的实际高度.（精确到1米）
例3.某海防哨所O发现在它的北偏西30 ° ，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分时间后到达哨所东北方向的B处。问船从A处到B处的航速是每时多少km（精确到1km/h）
例4.为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m)
A
D
C
E
F
B
60°
B
C
A
45°
例1：某海滨浴场的沿岸可以看作直线AC，如图所示，1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的地点C再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
D
B
C
A
45°
1. 请问1号救生员的做法是否合理？
2. 若2号救生员从A 跑到D再跳入海中游到B点救助, 请问谁先到达B？
45o
C
B
A
60o
D
45o
C
A
B
如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.
D
60°
45°
A
B
C
B
C
100米
D
B
C
A
45o
45o
C
A
B
60o
D
60o
D
45o
C
A
B
45o
C
A
B
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C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
翻转
拓展一
B
D
如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离BD为50米，由楼顶A望塔顶的仰角为45 ,由楼顶A望塔底的俯角为30 ,塔高DC为 ( )米
A
C
E
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
旋转
E
拓展二
B
C
D
60
A
E
30
50m
M
45o
A
B
C
45o
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
60o
A
B
D
C
旋转
60o
D
平移
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
问题1 楼房AB的高度是多少
问题2 楼房CD的高度是多少
拓展三
45o
A
B
C
45o
B
C
A
45o
45o
C
A
B
45o
C
A
B
60o
D
60o
D
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
翻转
B
C
A
45o
60o
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C
A
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D
B
C
A
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B
C
A
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旋转
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C
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C
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C
A
B
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45o
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A
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旋转
60o
D
平移
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
30o
C
A
B
45o
D
30o
C
A
B
60o
D
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300的三角板去度量旗杆的高度。
（1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆AB的高多少？
（2）若王同学分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
（3）此时他的数学老师来了一看，建议王同学只准用卷尺去量，你能给王同学设计方案完成任务吗？
A
B
4m
600
A
B
D
8m
300
600
C
C
练习
1.如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角 ．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）.
2.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E
处，测得仰角 ，已知人的高度为1.72米，
求树高（精确到0.01米）.
3. 如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，
从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的
高及水平距离CD.
1、船有无触礁的危险
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
A
B
C
D
北
东
2、楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
A
B
C
D
┌
3、一渔船在航行中不幸遇险，发出警报后，在遇险地点西南方向12km处，有一只货轮收到警报后立即前往营救，发现这只渔船向南偏东450航行，并以每小时18km的速度向某小岛靠近，如果要在30分钟内把渔船抢救出来，求货轮的航向和速度。
SOS
A
B
C
设计方案测量下面两幢楼的高度。写出需要的数据并画出示意图、给出计算方案。
教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程．
教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有准确的理解和想象，并准确画出这些线．
教学目标：
1、继续经历将实际问题化归为直角三角形问题的过程，
探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用；
2、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际
问题；
3、进一步体会数形结合和函数思想的运用；
重点：解直角三角形的运用；
难点：例题分析
2.两种情况:
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
1. 解直角三角形.
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图， 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例1
如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
你会解吗？
例1
如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
在Rt△BDE中，
∵ BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
∴AB＝BE＋AE ＝ AC×tan a ＋CD ＝9.17＋1.20≈10.4（米）
答: 电线杆的高度约为10.4米．
解：
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角 a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．算出旗杆的实际高度.（精确到1米）
例3.某海防哨所O发现在它的北偏西30 ° ，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分时间后到达哨所东北方向的B处。问船从A处到B处的航速是每时多少km（精确到1km/h）
例4.为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m)
A
D
C
E
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60°
B
C
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例1：某海滨浴场的沿岸可以看作直线AC，如图所示，1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的地点C再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
D
B
C
A
45°
1. 请问1号救生员的做法是否合理？
2. 若2号救生员从A 跑到D再跳入海中游到B点救助, 请问谁先到达B？
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C
B
A
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如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.
D
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100米
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拓展一
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如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离BD为50米，由楼顶A望塔顶的仰角为45 ,由楼顶A望塔底的俯角为30 ,塔高DC为 ( )米
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问题1 楼房AB的高度是多少
问题2 楼房CD的高度是多少
拓展三
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例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300的三角板去度量旗杆的高度。
（1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆AB的高多少？
（2）若王同学分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
（3）此时他的数学老师来了一看，建议王同学只准用卷尺去量，你能给王同学设计方案完成任务吗？
A
B
4m
600
A
B
D
8m
300
600
C
C
练习
1.如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角 ．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）.
2.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E
处，测得仰角 ，已知人的高度为1.72米，
求树高（精确到0.01米）.
3. 如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，
从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的
高及水平距离CD.
1、船有无触礁的危险
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
A
B
C
D
北
东
2、楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
A
B
C
D
┌
3、一渔船在航行中不幸遇险，发出警报后，在遇险地点西南方向12km处，有一只货轮收到警报后立即前往营救，发现这只渔船向南偏东450航行，并以每小时18km的速度向某小岛靠近，如果要在30分钟内把渔船抢救出来，求货轮的航向和速度。
SOS
A
B
C
设计方案测量下面两幢楼的高度。写出需要的数据并画出示意图、给出计算方案。
教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程．
教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有准确的理解和想象，并准确画出这些线．