北京市首师附高2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（1-4班） Word版含答案

北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试
数 学（1-4班）
2021.7
学号 班级 姓名 成绩_________
一、选择题：本大题共8小题, 每小题6分,共48分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合false，false，则false（ ）
A. false B.false C.false D.false
2. 在四个函数①false、②false、③false、④false中，在区间false的平均变化率最大的是(　　)
A. ④ B. ③ C. ② D. ①
3.“false”是“直线false垂直”的
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知数列false的通项公式false，则数列的前false项和false取最小值时，false的值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5．已知函数false，那么下列结论正确的是 （ ）
A．false在false上是增函数 B．false在false上是减函数
C．false，false 　 D．false，false
6.已知函数false是定义在false上的偶函数，且对任意的falsefalse，都有false.当false时，false.若直线false与函数false的图象在false内恰有两个不同的公共点，则实数false的值是
A.false B. false或false C. false或false D. false或false
7.已知全集false，集合false是集合false的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若false，则false；
②若false，则false；
③若false，则false.
则集合false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8.若函数false的值域为false，则实数false的取值范围是
A.false B. false C.false D.false
二、填空题：本大题共6小题, 每小题6分,共36分. 把答案填在题中横线上.
9. 设抛物线false的焦点为false，false为其上的一点，false为坐标原点，若false，则false的面积为 ．
10. 已知函数false的图像与直线false的两个相邻交点的距离等于false，则false的最小值为______.
11. 各项均为正数的等比数列false的前false项和为false，若false，false，则false的值为 ．
12.已知角false的顶点与原点false重合，始边与false轴的非负半轴重合，它的终边过点false．若角false满足false，且false为第二象限角，则false的值是 ．
13. 已知双曲线false的右顶点为false，以false为圆心，false为半径做圆false，圆false与双曲线false的一条渐近线交于false两点.若false，则双曲线false的离心率为________.
14. 定义在false上的函数false满足：①当false时，false ②false.
（i） false ；
（ii）若函数false的零点从小到大依次记为false，则当false时，false_____________.
三、解答题.本大题共4小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分16分）
如图所示，在四边形false中，false，且false.
（Ⅰ）求△false的面积；
（Ⅱ）若false，求false的长.
16.（本小题满分16分）
已知数列false的各项均不为0，其前false项和为false，且满足false false.
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求false的通项公式；
（Ⅲ）若false, 请写出false的最小值.
17.（本小题满分17分）
已知椭圆falsefalse的离心率为false，定点false，椭圆短轴的端点是false，false，且false.
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）设过点false且斜率不为false的直线交椭圆false于false，false两点.试问false轴上是否存在定点false，使false平分false？若存在，求出点false的坐标；若不存在，说明理由.
18.（本小题17分）
已知函数false.
（Ⅰ）求证：1是函数false的极值点;
（Ⅱ）设false是函数false的导函数，求证：false.
北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（1-4班）
参考答案
一、选择题：本大题共8小题, 每小题6分,共48分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
D
D
C
D
二、填空题：本大题共6小题, 每小题6分,共36分. 把答案填在题中横线上.
9.答案：false 10. false 11. false 12.false
13. 【解析】如图，
，
∵，∴，
∴
又∵，∴，解得
∴
14. 答案：3；false
三、解答题.本大题共4小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（共16分）
解：（Ⅰ）因为 false，false，
所以 false. ……………… 3分
因为 false，
所以 false. ……………… 5分
因为 false，
所以 △false的面积false. ………… 8分
（Ⅱ）在△false中，false.
所以 false. ……………… 11分
因为 false，false， ……………… 13分
所以 false.
所以 false. …………… 16分
16．（本小题满分16分）解：
（Ⅰ）因为 false，所以false，即false，
因为false，所以false. ----------------3分
（Ⅱ）因为 false ，所以false，两式相减，
得到false，
因为false，所以false， ---------------------6分
所以false都是公差为false的等差数列，
当false时，false, -----------------8分
当false时， false, -------------------10分
所以false -------------------12分
（Ⅲ）当false时，false取得最小值为false. -------------16分
（ 当false时，false
因为 false，
所以false
所以当false为奇数时，false的最小值为false，
当false为偶数时，false的最小值为false，
所以当false时，false取得最小值为false. ）
17.（本小题满分17分）
（Ⅰ）解：由 false， 得 false. ………………2分
依题意△false是等腰直角三角形，从而false，故false. ……………4分
所以椭圆false的方程是false. …………5分
（Ⅱ）解：设false，false，直线false的方程为false. …………6分
将直线false的方程与椭圆false的方程联立，
消去false得 false. ………8分
所以 false，false. ……………9分
若false平分false，则直线false，false的倾斜角互补，
所以false. ………10分
设false，则有 false.
将 false，false代入上式，
整理得 false，
所以 false. ……………13分
将 false，false代入上式，
整理得 false. …………15分
由于上式对任意实数false都成立，所以 false.
综上，存在定点false，使false平分false. ………………17分
18．（本题17分）
（Ⅰ）证明：
证法1：false的定义域为false ……………1分
由false 得
false， ……………2分
false. ………………3分
当false时，false，false，故false在false上单调递增；
………………4分
当false时，false，false，故false在false上单调递减；
……………5分
(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)
所以1是函数false的极值点. ………………6分
证法2：（根据极值的定义直接证明）
false的定义域为false ……………1分
false， false ……………3分
当false时，false，即false； ………………4分
当false时，false，即false； ……………5分
根据极值的定义， 1是false的极值点. ………………6分
（Ⅱ）由题意可知，false
证法1：false， ………………7分
令false，
false，故false在false上单调递增. ………………8分
又false，又false在false上连续，………………9分
false使得false，即false，
falsefalse.（*） …………10分
false随x的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
↘
极小值
↗
………………12分
falsefalse. ………………13分
由（*）式得false，代入上式得
false. ………………15分
令false，
false，故false在false上单调递减. ………………16分
false，又false，false.
即false false. ………………17分
证法2：false，
令false， ………………7分
false，令false得false. ………………8分
false随x的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
↘
极小值
↗
false，即false，当且仅当false时取到等号.………………11分
false，令false得false. ………………13分
false随x的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
↘
极小值
↗
………………15分
false，即false，当且仅当false时取到等号. ………………16分
false.
即false. ………………17分