《1.1探索勾股定理》自主学习优生提升训练（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》自主学习优生提升训练（附答案）
1．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
2．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是（　　）
A．8 B．48 C．24 D．30
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　）
A．20 B．12 C．2 D．2
4．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．或2
5．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．2
6．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
7．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（　　）
A．5或 B． C．5 D．2或5
8．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　 　尺．
9．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为　 　．
10．如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为S1，正方形DEFG的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　 　．
11．已知四边形ABCD，∠ABC＝90°，AB＝CD＝4，连接BD，∠ADB＝45°，∠C+2∠BAD＝180°，则BC＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
14．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
15．如图1，正方形纸片ABCD的边长为4，点E、F、M、N分别是正方形纸片四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．若EN＝，求中间小正方形的面积．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
17．割补法是求图形面积的常用方法．如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝5．
（1）∠ACD的度数是　 　；
（2）求该四边形的面积（注：有三个角都是直角的四边形对边相等）．
18．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝2，求AD的长．
19．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
20．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
（1）图2中间小正方形的周长　 　，大正方形的边长为　 　．
（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）
①S＝　 　；
②S＝　 　；
（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式　 　．
（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
参考答案
1．解：由题意得a＝，
b＝，
c＝，
∴a＜b＜c，
故选：B．
2．解：设另一直角边的长为x，则斜边为18﹣x，
∵直角三角形的一条直角边长是6，
∴62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
∴直角三角形的面积为＝24
故选：C．
3．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，
则S2＝AC2＝12，
故选：B．
4．解：①当x为斜边时，x2＝22+42＝20，所以x＝2；
②当4为斜边时，x2＝16﹣4＝12，x＝2．
故选：D．
5．解：∵AB2＝22+42＝4+16＝20；
AC2＝22+12＝4+1＝5，
BC2＝32+42＝9+16＝25，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△BAC＝AB×AC＝××＝5，
∵同一三角形面积相等，
S△BAC＝BC?AD＝×5×AD＝5，
∴AD＝2．
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝2，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴DE2+22＝（4﹣DE）2，
∴DE＝，
∴BD＝＝＝．
故选：D．
7．解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得
32+42＝x2，所以x＝5．
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得
32+x2＝42，所以x＝
所以第三边的长为5或．
故选：A．
8．解：依题意画出图形，
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
9．解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
10．解：∵S1＝DC2，S2＝DE2，
正方形ABCD中DC⊥BC，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DE2＝DC2+CE2，
∴S2＝S1+CE2，
即S2﹣S1＝CE2＝9．
故答案为：9．
11．解：过B作BO⊥AD于O，交CD的延长线于E，
∵BE⊥AD，∠ADB＝45°，
∴∠OBD＝45°，
∴OB＝OD，
∵∠A+∠EBA＝90°，
∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠C+2∠BAD＝180°，∠C+∠E+∠EBC＝180°，
∴∠E＝∠EBC＝∠A，
∴BC＝CE，
在△ABO和△EDO中，
，
∴△ABO≌△EDO（AAS），
∴AB＝DE，
∴CE＝CD+DE＝2×4＝8，
∵BC＝CE，
∴BC＝8，
故答案为：8．
12．解：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，
∴DC＝3×＝，
∴DE＝，
∵AB＝5，DE⊥AB，
∴△ABD的面积是：＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝＝＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
14．解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，
∴CD＝4．
（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，
∴AD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+3．
15．（1）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS），
∴EN＝NM＝MF＝EF，∠ENA＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF，
∴EF＝FM＝MN＝NE，EH＝FG＝MR＝NQ，EQ＝FH＝MG＝NR，
如图2，设正方形EFMN的边长EF＝FM＝MN＝NE＝c，EH＝FG＝MR＝NQ＝b，EQ＝FH＝MG＝NR＝a，
则小正方形QHGR的边长QH＝b﹣a，
∴小正方形QHGR的面积为（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴a+b＝4，
∴a2+b2+2ab＝16，
∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6，
∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6＝4．
16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
17．解：（1）∵四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠ACD＝60°，
故答案为60°；
（2）如图，延长CA、DB交于点E，
由（1）可知∠E＝30°．
在Rt△ABE中，
∵AB＝4，∠E＝30°，
∴BE＝2AB＝8，
∴AE＝＝＝4，
在Rt△DEC中，∵∠E＝30°，CD＝5，
∴CE＝2CD＝10，
∴DE＝＝＝15，
∴S△ABE＝×4×4＝8，
S△CDE＝×5×15＝，
∴S四边形ABDC＝S△CDE﹣S△ABE＝．
18．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF＝AC，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∴BF＝2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF＝CD＝2，
在Rt△CDF中，CF＝＝＝2，
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝2，
∴AD＝AF+DF＝2+2．
19．解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝＝2，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝
＝
＝．
∴BD的长等于．
20．解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b），
故答案为：4c；a+b；
（2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2，
故答案为：（a+b）2或2ab+c2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10（负值不合题意，舍去）．