《1.2一定是直角三角形吗》自主学习优生提升训练（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》自主学习
优生提升训练（附答案）
1．由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝1，b＝1，c＝2
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝3，b＝5，c＝4
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝，c＝，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B
3．若，则以a，b，c为边长的△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
5．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为　 　．
6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC　 　S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△ADE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ADE＝　 　°．
8．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　 　．
9．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　 　度．
10．如图所示，四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，AD＝26，CD＝24，∠B＝90°，该四边形的面积是 　 　．
11．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝5，CD＝5，∠A＝90°．求∠BCD的度数．
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
14．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，AD＝16，CB＝15．
（1）求DC，AB的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
17．如图，在△ABC中，D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求线段BE的长度．
18．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求DE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
20．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝12cm，CD＝5cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
参考答案
1．解：A、因为12+22≠32，故不能组成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为12+12≠22，故不能组成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为42+52≠62，故不能组成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为32+42＝52，能组成直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵a＝，b＝，c＝，
∴b2+c2＝（）2+（）2＝5＝a2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
故选：A．
3．解：∵，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝4，c＝5，
∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形，
故选：B．
4．解：由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项B不符合题意；
a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．解：∵32+42＝52，
∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最短边上的高为4，
故答案为：4．
6．解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
7．解：如图，取格点F、G，连接FB、FC、GF、GC．
在△ADE与△FCG中，
，
∴△ADE≌△FCG（SAS），
∴∠ADE＝∠FCG．
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠GCB．
∵BF＝＝，CF＝＝，BC＝＝，
∴BF2+CF2＝BC2，且BF＝FC，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠FCB＝45°，
∴∠ABC+∠ADE＝∠GCB+∠FCG＝45°．
故答案为：45．
8．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB?BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
9．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
在Rt△ABC中，BC＝＝4，
CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝45°，
故答案为：45．
10．解：在直角△ACB中，∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝82+62＝102，
∴AC＝10，
在△ACD中，
∵AC2+CD2＝100+576＝676，AD2＝262＝676，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×6×8+×10×24＝144．
故答案为：144．
11．解：根据勾股定理分两种情况：
（1）当第三边为斜边时，第三边长＝＝2；
（2）当斜边为6时，第三边长＝＝4；
故答案为：2或4．
12．解：连接BD，
∵AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，
∴BD＝＝＝5，
又∵BC＝5，CD＝5，
∴BD2+BC2＝52+52＝50＝（5）2＝CD2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
又∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BCD的度数是45°．
13．（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：x＝，
∴AE的长为．
14．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴AB2＝AC2+CB2，
∴AB＝15．
∵AD＝8，BD＝17，
∴DB2＝AD2+AB2，
∴∠DAB＝90°，
∴△ABD的面积＝AB×AD＝60．
答：△ABD的面积为60．
15．解：（1）∵CD⊥AB，AC＝20，AD＝16，
∴CD＝＝＝12，
∵CB＝15，CD⊥AB，
∴BD＝＝＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
由上可得，DC的长是12，AB的长是25；
（2）证明：∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝202+152＝400+225＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
16．解：（1）由勾股定理得：AC＝＝＝25，
当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，
所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）△CBD能为直角三角形，
理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，
∵S△ABC＝，
∴BD＝＝＝12，
由勾股定理得：CD＝＝＝9，
所以t＝＝4.5，
②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，
t＝＝12.5，
∴t的值是4.5或12.5
17．（1）证明：在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2＝36，BC2＝64，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．
∵D是AB的中点，AB＝10，CE＝CD，
∴CE＝CD＝AB＝5．
在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．
18．（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连接CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是，
∴BE＝4﹣＝，
∵BD＝BC＝，
∴DE＝＝＝．
19．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
20．解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝13cm，BD＝12cm，CD＝5cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（12﹣x）2+52＝x2，
解得：x＝，
∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝++13＝（cm）