《1.3勾股定理的应用》自主学习优生提升训练（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》自主学习优生提升训练（附答案）
1．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（　　）
A． B． C．10 D．
2．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）
A．10 B．50 C．120 D．130
3．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　）
A．4cm B．5cm C．cm D．cm
4．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
5．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．20 B．24 C．25 D．26
7．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
8．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
9．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为　 　．
10．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为　 　．
11．如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．
（1）蚂蚁爬行的最短距离是　 　cm；
（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于　 　cm．
12．一架长为5米的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离C处3米，如果梯子顶端沿墙下滑1米，梯子的底端沿水平方向滑动　 　米．
13．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，则乙船的速度是　 　．
14．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行　 　米．
15．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　 　m．
16．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
17．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们的东北方向距离10海里处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻艇以每小时15海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻队出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
18．如图，一菜农要修建蔬菜大棚，棚宽BE＝2m，棚高AE＝1.5m，长BC＝18m．AE所在的墙面与地面垂直，现要在棚顶覆盖一种农用塑料薄膜，请你为他计算一下，共需多少这种塑料薄膜？
19．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
20．葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线﹣﹣螺旋前进的，难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
21．如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
22．如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
参考答案
1．解：如图1所示，
则AB＝＝2；
如图2所示，
AB＝＝10，
故它运动的最短路程为10，
故选：C．
2．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，
∴AB＝＝50（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，
故选：B．
3．解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
∵底面圆周长为8cm，
∴AD＝BC＝4cm，
又∵AB＝3cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm，
故选：B．
4．解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
5．解：如图，
（1）AB＝＝＝3；
（2）AB＝＝15，
由于15＜3；
则蚂蚁爬行的最短路程为15cm．
故选：C．
6．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24，宽AD＝10，
∴AC＝＝＝＝26，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程．
故选：D．
7．解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
8．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
9．解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
AB＝＝2，
故答案为：2．
10．解：由题意得BC＝6，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故答案为：16米．
11．解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝25（cm）；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
∵25＜5＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．
故答案为：25；
（2）盒子底面对角长为＝，
当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为：＝5（cm），
∴吸管应不少于5cm．
故答案为：5．
12．解：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，AC＝＝4米，
DC＝4﹣1＝3米．
在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，CE＝＝4米，
所以BE＝CE﹣CB＝1．
即梯子底端也滑动了1米．
故答案为：1．
13．解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，
∴AC＝24海里．
∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，
∴∠CAB＝90°．
∵BC＝40海里，
∴AB＝＝32海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是16海里/时．
故答案为：16海里/时．
14．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
则EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故答案为：10．
15．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
16．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
17．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝10，BC＝10x，AC＝15x，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝10，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，
∴BD＝5，AD＝5，
∴CD＝10x+5．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：（15x）2＝（10x+5）2+（5）2，
解得：x1＝，x2＝（不合题意舍去）．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时．
18．解：由题意可知，△AEB是直角三角形，其中AE＝1.5m，BE＝2m，
由勾股定理可得AE2+BE2＝AB2，
即1.52+22＝AB2，
所以AB＝2.5m，
18×2.5＝45（m2）．
所以共需这种塑料薄膜45m2．
19．解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB?CH＝AC?BC，
∴CH＝＝＝96（m），
∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∴AH＝＝＝128（m），
∴BH＝AB﹣AH＝72m，
∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
20．解：（1）将圆柱的侧面展开后，该侧面是矩形，
AC＝30cm，高是40cm，
则BA＝40cm，
∴BC＝＝50cm，
故绕行一圈的路程为50cm，
（2）因为底面圆的周长为80cm，即AC＝80cm，
绕一圈爬行100cm，则BC＝100cm
＝60cm，
∴树干高＝60×10＝600cm＝6m
故树干高为6m
21．解：设AE＝xkm，则BE＝（50﹣x）km
∵DE＝CE
∴302+x2＝（50﹣x）2+202
解得x＝20
答：基地E应建在离A站20km的地方．
22．解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA﹣2，
即BD+DA＝27，DA＝27﹣x，
故答案为：27﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（27﹣x）2＝（x+5）2+242
∴x＝2
∴CD＝5+2＝7，
答：树高7米