《1.3一元二次方程根与系数的关系》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册（word版含解析）

2021年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程根与系数的关系》
同步优生辅导训练（附答案）
1．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
2．已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（　　）
A．11 B．12
C．m有无数个解 D．13
3．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
4．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
5．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
6．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
7．已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为　 　．
8．若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为　 　．
9．已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a＝　 　．
10．若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝　 　．
11．关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不相等的整数根，m为整数，那么m的值是　 　．
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝　 　．
13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
14．如果方程x2+px+q＝0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q＝0同族方程，并规定：满足．例如x2﹣7x+12＝0有正整数解3和4，所以x2﹣7x+12＝0属于同族方程，所以．
（1）如果同族方程x2+px+q＝0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；
（2）如果同族方程x2+px+q＝0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数）；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．
15．已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）＝0至少有一个整数根，求a的值．
16．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
17．已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根．
18．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
22．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
23．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1?x2，试求k的值．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且该方程有两个负整数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m为正整数，且该方程的根都是负整数，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
则3＜m≤7．
又∵是整数，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故选：B．
2．解：∵关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵△＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，
又∵6＜m＜20，
∴25＜4m+1＜81，
∵如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，
∴△为有理数的平方，
∴有无数个有理数m，使（4m+1）是有理数的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），
故选：C．
3．解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
4．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
5．解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
所以+＝＝＝﹣2．
故选：D．
6．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x1+x2﹣x1?x2＝3﹣（﹣2）＝5．
故选：C．
7．解：①当k＝0时，原方程可化为﹣x+2＝0，
∴x＝2，此种情况符合题意；
②当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，
∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴k为非0实数，
设关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的两根为x1，x2，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝＝3+，x1x2＝＝2+，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数，
∴x1+x2，x1x2也是整数，
∴和也是整数，
∵k为整数，
∴k＝±1，
即满足条件的k为0或±1，
故答案为0或±1．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0有解，
∴k≠0，△＝（4k﹣1）2﹣4k（3k﹣1）＝16k2﹣8k+1﹣12k2+4k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0，
∴k≠0，
∵kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝（kx+3k﹣1）（x﹣1）＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣＝﹣3+，
∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，
∴是整数，
∵k为正整数，
∴k＝1，
故答案为1．
9．解：显然a≠0．故原方程为关于x的二次方程．
△＝[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15），
＝[a（a+2）]2
是完全平方式．
故x＝
即x1＝＝2﹣，x2＝＝1﹣．
当2﹣是整数时，a＝1，3；
当1﹣是整数时，a＝1，5．
综上所述，a＝1，3或5．
10．解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
2ax2﹣（a+4）x+2＝0，
（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，
解得x1＝，x2＝，
∵关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，
∴正整数a＝1或2．
故答案为：1或2．
11．解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，即（mx﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的整数根，
∴m≠0，为整数，且≠1．
又∵m为整数，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1?x2＝a，
由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，
若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝25﹣4a＝4，
∴a＝，
故答案为：．
13．（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0的解为x＝1或x＝，
∵方程的根都为正整数，
∴为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
14．（1）证明：∵同族方程x2+px+q＝0中有两个相同的解，
∴b2﹣4ac＝0，
∴p2﹣4q＝0，
∴p2＝4q，
∵，
∴；
（2）根据题得10y+x﹣（10x+y）＝54，
∴9y﹣9x＝54，
∴y﹣x＝6，
∵1?x?y?9，
∴，，，
∴q＝39或28或17，
∴可得三个方程x2+px+39＝0，x2+px+28＝0，x2+px+17＝0，
由和谐方程定义可得x2+px+39＝0的解为x＝1或39；x＝3或13，此时p＝﹣40或﹣16；
方程x2+px+28＝0的解为x＝1或x＝28；x＝2或x＝14；x＝4或x＝7，此时p＝﹣29或﹣16或﹣11；
方程x2+px+17＝0的解为x＝1或17，此时p＝﹣18；
则和谐方程x2+px+39＝0中G的最小值为；
方程x2+px+28＝0中G的最小值为；
方程x2+px+17＝0中G的值为；
∵，
∴G的最小值为．
15．解：将原方程变形为（x+2）2a＝2（x+6）．
显然x+2≠0，于是a＝
由于a是正整数，所以a≥1，即≥1
所以x2+2x﹣8≤0，
（x+4）（x﹣2）≤0，
所以﹣4≤x≤2（x≠﹣2）．
当x＝﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，，1
∴a＝1，3，6，10
说明从解题过程中知，当a＝1时，有两个整数根﹣4，2；
当a＝3，6，10时，方程只有一个整数根．
综上所述，当a＝1，3，6，10时，关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）＝0至少有一个整数根．
16．解（1）是，理由：
∵解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴两个根均为整数，满足定义，
∴方程为“全整方程”，
∴T（a，b，c）＝＝﹣；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方数，
即4m+29是完全平方数，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m为整数，
∴m＝（舍去），m＝13，m＝（舍去），
即原方程为x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）＝＝﹣．
17．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≥﹣且k≠0．
（2）关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0的解为x＝，
∵此方程至少有一个有理数根，
∴4k+1是完全平方数，
当k＝2（不唯一）时，方程的根为x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣．
18．解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1?x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16+x1?x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
19．（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
20．解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
21．解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
22．解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
23．（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 ＝2，x1 ?x2 ＝2k﹣1
又∵+＝x1?x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 ?x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．