《第1章一元二次方程》单元综合同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册（word版含解析）

2021苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合同步优生辅导训练（附答案）
1．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．1 B． C． D．
2．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
3．若实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣2或﹣1
4．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　．
5．某商品成本价为360元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是　 　．
6．解方程：（2x+1）2＝9（x﹣1）2．
7．解方程：（1）x2﹣6x+8＝0 （2）x（2x﹣3）+4x﹣6＝0．
8．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．
（1）当m为何值时，原方程没有实数根？
（2）对m取一个适合的非零整数值，使原方程有两个实数根．并求这两个实根的平方和．
9．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求整数k可能取值．
10．阅读解答：
题目：已知方程x2+3x+1＝0的两根为a，b，求+的值．
解：①∵△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0∴a≠b
②由一元二次方程根与系数关系得：a+b＝﹣3，ab＝1；
③∴+＝+＝＝＝﹣3
问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步？写出正确的解题过程．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实数根为x1、x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．
12．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，
设x2﹣1＝y…①，
那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴，
故原方程的解为，，，．
以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：
（1）x4﹣x2﹣6＝0． （2）（x2+x）2+（x2+x）＝6．
13．已知，关于x的方程x2﹣mx+m2﹣1＝0，
（1）不解方程，判断此方程根的情况；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
15．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2019年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2023年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2021年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
16．已知关于x的方程（k﹣2）x2+（1﹣2k）x+k＝0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）如果改为方程有实数根，k的取值范围有变化吗？若有变化，求出此时k的取值范围；若没有变化，请说明理由；
（3）方程有实数根，且k为不大于0的整数，求出此时方程的根．
17．新学期开始，为鼓励同学努力学习，积极备战中考，李老师和班委会商议，计划在淘宝上为同学们选购一些精美笔记本作为礼物，经大家讨论，选中A型笔记本并决定在八月下旬购买．
（1）由于促销，A型笔记本八月下旬的价格比八月上旬的价格下降了20%，若购买60本至少要花费720元，那么该款笔记本八月上句上旬的最低价格为每本多少元？
（2）李老师在同类商品推送中发现B型笔记本也非常合适，它的价格为每本12元；同时该店铺也有A型笔记本出售，且价格在（1）中八月下旬的最低价格的基础上下调了a%经过比较，李老师决定两种笔记本都购入．购买数量比原计划增加了a%，其中A型笔记本占总数量的，最终，购买总费用与按原计划以八月下旬的最低价格购买A型笔记本相比增加了a%，求a的值．（商家免运费，a＞0）
18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
19．某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克．现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？
20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
参考答案
1．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1；
故选：A．
2．解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
3．解：∵（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，
∴x2+y2+1＝0或x2+y2﹣2＝0，
∴x2+y2＝﹣1或x2+y2＝2，
而x2+y2≥0，
∴x2+y2＝2．
故选：B．
4．解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+l＝0有实数根，
∴当m﹣2＝0时，m＝2时，﹣2x+l＝0有实数根；
当m﹣2≠0时，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12≥0，
解得m≤3．
由以上可知m≤3．
故答案为：m≤3．
5．解：设降价的百分率是x则，
360×（1﹣x）2＝160，
解之得x＝≈33.3%，
答：降价的百分率是33.3%．
6．解：（2x+1）2＝9（x﹣1）2，
（2x+1）2﹣9（x﹣1）2＝0，
[（2x+1）+3（x﹣1）][（2x+1）﹣3（x﹣1）]＝0，
（5x﹣2）（﹣x+4）＝0，
解得：x1＝0.4，x2＝4．
7．解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）分解因式得：（2x﹣3）（x+2）＝0，
可得2x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1.5，x2＝﹣2．
8．解：（1）∵原方程没有实数根，
∴△＜0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4m2＜0，
解得，m＜﹣，
故m＜﹣时，原方程没有实数根．
（2）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4m2≥0，
∴m＞﹣．
取，m＝3，
两根平方和为46．
9．（1）证明：
∵kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0），
∴△＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4k（k﹣2）＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式可求得x1＝1，x2＝1﹣，
要使得方程的两个实数根都是整数，则k为2的因数，
∴k＝±1或k＝±2．
10．解：上面的解题过程不正确，错在③，正确的解题过程如下：
①∵△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴a≠b；
②由一元二次方程根与系数关系得：a+b＝﹣3，ab＝1，
∴a＜0，b＜0；
③∴+＝+＝＝＝3．
11．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）∵x1+x2＝4，
∴5x1+2x2＝2（x1+x2）+3x1＝2×4+3x1＝2，
∴x1＝﹣2，
把x1＝﹣2代入x2﹣4x+m＝0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m＝0，
解得：m＝﹣12．
12．解：（1）x4﹣x2﹣6＝0
设x2＝y，则原方程可化为
y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝3，y2＝﹣2（舍去），
当y＝3时，x2＝3，∴x＝±
∴原方程的解为x＝±；
（2）（x2+x）2+（x2+x）＝6
设x2+x＝y，则原方程可化为
y2+y＝6，解得y1＝﹣3（舍去），y2＝2，
当y＝2时，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，
所以原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
13．解：（1）∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝m2﹣m2+4＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）将x＝2代入方程，得：4﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
15．解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2＝14.4，
解得x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得：
2022年底汽车数量为14.4×90%+y，
2023年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
16．解：（1）由题意
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠2．
（2）有变化．
当k≠2时，k≥﹣；当k＝2时，一元一次方程﹣3x+2＝0有实根，
∴k≥﹣．
（3）若方程有实根，则k≥﹣．
又∵k≤0且k为整数，∴k＝0，
当k＝0时，﹣2x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝．
17．解：（1）设A型笔记本八月上旬的价格为x元，由题意得：
x（1﹣20%）×60≥720
解得x≥15
答：A型笔记本八月上旬的最低价格为每本15元．
（2）设原计划购买的总数量为单位“1”，A型笔记本八月下旬的最低价格为每本15×（1﹣20%）＝12元，由题意得：
12（1﹣a%）××1×（1+a%）+12××1×（1+a%）＝12×1×（1+a%）
令a%＝t，化简得：t2﹣t＝0
解得t1＝0（舍），t2＝0.2
∴a＝20
答：a的值为20．
18．（1）证明：
∵方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2+4m+4﹣8m+4＝m2﹣4m+4+4＝（m﹣2）2+4＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝1代入方程可得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0，解得m＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，
∴方程的另一根为x＝3，
当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边＝＝，此时直角三角形的周长＝4+，
当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边＝＝2，此时直角三角形的周长＝4+2，
综上可知直角三角形的周长为4+或4+2．
19．解：设每千克应涨价x元，
依题意得方程：（5000﹣400×）（1+x）＝5060，
整理，得200x2﹣50x+3＝0，
解这个方程，得x1＝0.1，x2＝0.15．
又要价格尽可能的低，应取x＝0.1．
答：每千克应涨价0.1元．
20．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．