姓名________________ 准考证号________________
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
湖南省五市十校教研教改共同体·2021年上学期高一期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合false,false,则false
A.false B.false C.false D.false
2.已知向量false,false,若false,则实数false的值是
A.false B.false C.1 D.2
3.若false,false为两条不同的直线,false为平面,且false,则“false”是“false”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某小区居民上网年龄分布图如图所示,现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为false的样本。若样本中90后比00后多52人,则false
A.400 B.450 C.500 D.550
5.函数false,false的部分图像大致是
A B C D
6.已知函数false在false单调递减,在false单调递增,则false的最小正周期为
A.false B.false C.false D.false
7.设false,false,false,则
A.false B.false C.false D.false
8.已知false,false,false分别为false内角false,false,false的对边,false,则false的最大值为
A.2 B.false C.4 D.8
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知复数false,则下列命题正确的是
A.false的虚部为false B.false
C.false D.false在复平面内对应的点位于第三象限
10.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在false内。现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示。观察图形,则下列说法正确的是
A.频率分布直方图中第三组的频数为10人
B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
11.已知三棱锥false的顶点均在表面积为false的球false的球面上,false、false、false两两垂直,false,false,则下列结论中正确的是
A.球false的半径为false B.false
C.false到平面false的距离为false D.false到平面false的距离为false
12.已知false的重心为false,过false点的直线与边false,false的交点分别为false,false,若false,且false与false的面积之比为false,则false的可能取值为
A.false B.false C.false D.3
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若向量false,false满足false,false,false,则false与false的夹角为________________。
14.从长度(单位:false)分别为2,3,4,5的4条线段中任取3条,能构成钝角三角形的概率为________。
15.已知false,false,false分别为false内角false,false,false的对边,false,false,false,则false________________。
16.《九章算术》中,刍甍(chú méng)是一种五面体,其底面为矩形,顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段。在如图所示的刍甍false中,平面false平面false,false,且四边形false为等腰梯形,false,false,false,则刍甍false的体积为________________,
二面角false的余弦值为________________。
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在false中,false,设false(false、false为实数)。
(1)求false,false的值;
(2)若false,false,求false。
18.(12分)
函数false的部分图像如图所示。
(1)写出图中false、false的值;
(2)将函数false的图像向右平移false个单位,再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的false倍,横坐标不变,得到函数false的图像,求方程false在区间false上的解。
19.(12分)
为了参加数学选拔赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下:
理科:79,80,81,79,94,92,85,90
文科:94,80,90,81,73,84,90,80
(1)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥更好;
(2)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训,求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率。
20.(12分)
如图,四棱锥false中,false为等边三角形,false平面false,false,false,false为false的中点。
(1)证明:false平面false;
(2)证明:平面false平面false;
(3)若false,false,求直线false与平面false所成角的正弦值。
21.(12分)
false内角false,false,false的对边分别为false,false,false,false,false。
(1)证明:false;
(2)若false,求false的周长。
22.(12分)
如图,正方形false与正方形false所在平面互相垂直,false、false分别在false,false上,false,false。
(1)证明:false;
(2)证明:false平面false;
(3)求平面false截三棱柱false所成大小两部分的体积比。
高一数学参考答案
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
D
D
A
B
AC
AB
ABD
BD
1.C解析:false,false,
false。
2.C解析:由已知可得false,false。
3.B解析:由false,false或false,由 false,false,false“false”是“false”的必要不充分条件。
4.A解析:根据题意可知false,解得false。
5.D解析:易知false,false为奇函数:当false时,false单调递增,false单调递减,false单调递增,故选D。
6.D解析:由题意结合余弦函数图像可得false,false,最小正周期false。
7.A解析:false,false,false,
false,false,false,
false,false,即false,false。
8.B解析:由已知及正弦定理得false,false,两边除以false得false,当false,false都为锐角时,false,false,当且仅当false时,等号成立,
false。若false,false其中一个为钝角时,false,false的最大值为false。
9.AC解析:false,∴AC正确。
10.ABC解析:分数在false内的频率为false,所以第三组false的频数为false(人),故A正确;因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点,从图中可看出众数的估计值为75分,故B正确;因为false,
false,所以中位数位于false,估计值为75,故C正确;样本平均数的估计值为falsefalse(分),故D错误。
11.ABD解析:将三棱锥false构造在长体中,false,false,false,由等体积法可得false到平面false的距离false,设false与平面false交于点false,则由几何关系可得false,∴点false到平面false的距离false。
12.BD解析:如图,false,false,即false,设false,则false,false三点共线,false,false,
false,false与false的面积之比为false,falsefalse, 即false,化简得false,解得false或3。
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.false 14.false 15.false 16.false false(第一空2分,第二空3分)
13.false解析:false,∴夹角为false。
14.false解析:4条线段中任取3条的可能情况有234,235,245,345,共4种,其中能构成钝角三角形的情况有234,245,共2种,故概率为false。
15.false解析:false,false,false,false,
false,false,false,false。
16.false false解析:连接false,则刍甍false被分割为四棱锥false和三棱锥false,平面false平面false,false平面false,过点false作false,则false平面false,
false,false,∴刍甍false的体积为
false。过点false作false,连接false,则false,false为二面角false的补角,在false中,由等面积法易得false,false,
false,∴二面角false的余弦值为false。
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.解析:false,∴过点false作平行四边形可得false,false,false。(4分)
(2)由(1)得false,false,false。(10分)
18.解析:(1)false,false。(4分)
(2)由(1)及题意可得false,
由false可得false,false或false,false,解得false或false,false,false,∴方程false的解为false。(12分)
19.解析:(1)从平均数和方差的角度看,理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好。理由如下:
理科组同学成绩的平均数false,
方差false;文科组同学成绩的平均数false。
方差false;
由于false,false,所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好。(7分)
(2)设理科组同学中成绩不低于90分的3人分别false,false,false,文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为false,false,false,则从他们中随机抽出2人有以下15种可能:false,false,false,false,false,false,false,false,false,false,false,false,false,false,false。其中全是文科组同学的情况有false,false,false三种。记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件false则false。(12分)
20.解析:(1)取false中点false,连接false,false,
则false,∴四边形false为平行四边形,false,
false平面false,false平面false,false平面false(4分)
(2)false平面false,false是正三角形,false,false,
false,false平面false,
false,false平面false,
false平面false,∴平面false平面false。(8分)
(3)过点false作false,则false平面false,false即为直线false与平面false所成角,
false,false。(12分)
21.解析:(1)false,false,false为锐角,false,
false,
由正弦定理可得false。(6分)
(2)由(1)知false,
false,
设false,false,false,则false,解得false,
false的周长为false。(12分)
22.解析:(1)(Ⅰ)设正方形边长为3,过false向false作垂线交false于false,
连接false,则false,false,false,false,
由余弦定理知false,false,
false,false,
false,false。(4分)
(2)连接false交false于false,延长false交false于false,连接false,则false,false,
false,false平面false。(8分)
(3)由(2)得平面false即为截面false。(8分)
false,false,
设正方形边长为1,则false,false,
∴体积比为false。(12分)