湖南省五市十校教研教改共同体2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

姓名________________ 准考证号________________
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
湖南省五市十校教研教改共同体·2021年上学期高一期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
2．已知向量false，false，若false，则实数false的值是
A．false B．false C．1 D．2
3．若false，false为两条不同的直线，false为平面，且false，则“false”是“false”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某小区居民上网年龄分布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为false的样本。若样本中90后比00后多52人，则false
A．400 B．450 C．500 D．550
5．函数false，false的部分图像大致是

A B C D
6．已知函数false在false单调递减，在false单调递增，则false的最小正周期为
A．false B．false C．false D．false
7．设false，false，false，则
A．false B．false C．false D．false
8．已知false，false，false分别为false内角false，false，false的对边，false，则false的最大值为
A．2 B．false C．4 D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知复数false，则下列命题正确的是
A．false的虚部为false B．false
C．false D．false在复平面内对应的点位于第三象限
10．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在false内。现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示。观察图形，则下列说法正确的是
A．频率分布直方图中第三组的频数为10人
B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
11．已知三棱锥false的顶点均在表面积为false的球false的球面上，false、false、false两两垂直，false，false，则下列结论中正确的是
A．球false的半径为false B．false
C．false到平面false的距离为false D．false到平面false的距离为false
12．已知false的重心为false，过false点的直线与边false，false的交点分别为false，false，若false，且false与false的面积之比为false，则false的可能取值为
A．false B．false C．false D．3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量false，false满足false，false，false，则false与false的夹角为________________。
14．从长度（单位：false）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为________。
15．已知false，false，false分别为false内角false，false，false的对边，false，false，false，则false________________。
16．《九章算术》中，刍甍（chú méng）是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段。在如图所示的刍甍false中，平面false平面false，false，且四边形false为等腰梯形，false，false，false，则刍甍false的体积为________________，
二面角false的余弦值为________________。
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在false中，false，设false（false、false为实数）。
（1）求false，false的值；
（2）若false，false，求false。
18．（12分）
函数false的部分图像如图所示。
（1）写出图中false、false的值；
（2）将函数false的图像向右平移false个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的false倍，横坐标不变，得到函数false的图像，求方程false在区间false上的解。
19．（12分）
为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：
理科：79，80，81，79，94，92，85，90
文科：94，80，90，81，73，84，90，80
（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；
（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率。
20．(12分)
如图,四棱锥false中，false为等边三角形，false平面false，false，false，false为false的中点。
（1）证明：false平面false；
（2）证明：平面false平面false；
（3）若false，false，求直线false与平面false所成角的正弦值。
21．(12分)
false内角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，false。
（1）证明：false；
（2）若false，求false的周长。
22．(12分)
如图，正方形false与正方形false所在平面互相垂直，false、false分别在false，false上，false，false。
（1）证明：false；
（2）证明：false平面false；
（3）求平面false截三棱柱false所成大小两部分的体积比。
高一数学参考答案
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
D
D
A
B
AC
AB
ABD
BD
1．C解析：false，false，
false。
2．C解析：由已知可得false，false。
3．B解析：由false，false或false，由 false，false，false“false”是“false”的必要不充分条件。
4．A解析：根据题意可知false，解得false。
5．D解析：易知false，false为奇函数：当false时，false单调递增，false单调递减，false单调递增，故选D。
6．D解析：由题意结合余弦函数图像可得false，false，最小正周期false。
7．A解析：false，false，false，
false，false，false，
false，false，即false，false。
8．B解析：由已知及正弦定理得false，false，两边除以false得false，当false，false都为锐角时，false，false，当且仅当false时，等号成立，
false。若false，false其中一个为钝角时，false，false的最大值为false。
9．AC解析：false，∴AC正确。
10．ABC解析：分数在false内的频率为false，所以第三组false的频数为false（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为false，
false，所以中位数位于false，估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为falsefalse（分），故D错误。
11．ABD解析：将三棱锥false构造在长体中，false，false，false，由等体积法可得false到平面false的距离false，设false与平面false交于点false，则由几何关系可得false，∴点false到平面false的距离false。
12．BD解析：如图，false，false，即false，设false，则false，false三点共线，false，false，
false，false与false的面积之比为false，falsefalse， 即false，化简得false，解得false或3。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．false 14．false 15．false 16．false false（第一空2分，第二空3分）
13．false解析：false，∴夹角为false。
14．false解析：4条线段中任取3条的可能情况有234，235，245，345，共4种，其中能构成钝角三角形的情况有234，245，共2种，故概率为false。
15．false解析：false，false，false，false，
false，false，false，false。
16．false false解析：连接false，则刍甍false被分割为四棱锥false和三棱锥false，平面false平面false，false平面false，过点false作false，则false平面false，
false，false，∴刍甍false的体积为
false。过点false作false，连接false，则false，false为二面角false的补角，在false中，由等面积法易得false，false，
false，∴二面角false的余弦值为false。
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解析：false，∴过点false作平行四边形可得false，false，false。（4分）
（2）由（1）得false，false，false。（10分）
18．解析：（1）false，false。（4分）
（2）由（1）及题意可得false，
由false可得false，false或false，false，解得false或false，false，false，∴方程false的解为false。（12分）
19．解析：（1）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好。理由如下：
理科组同学成绩的平均数false，
方差false；文科组同学成绩的平均数false。
方差false；
由于false，false，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好。（7分）
（2）设理科组同学中成绩不低于90分的3人分别false，false，false，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为false，false，false，则从他们中随机抽出2人有以下15种可能：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false。其中全是文科组同学的情况有false，false，false三种。记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件false则false。（12分）
20．解析：（1）取false中点false，连接false，false，
则false，∴四边形false为平行四边形，false，
false平面false，false平面false，false平面false（4分）
（2）false平面false，false是正三角形，false，false，
false，false平面false，
false，false平面false，
false平面false，∴平面false平面false。（8分）
（3）过点false作false，则false平面false，false即为直线false与平面false所成角，
false，false。（12分）
21．解析：（1）false，false，false为锐角，false，
false，
由正弦定理可得false。（6分）
（2）由（1）知false，
false，
设false，false，false，则false，解得false，
false的周长为false。（12分）
22．解析：（1）（Ⅰ）设正方形边长为3，过false向false作垂线交false于false，
连接false，则false，false，false，false，
由余弦定理知false，false，
false，false，
false，false。（4分）
（2）连接false交false于false，延长false交false于false，连接false，则false，false，
false，false平面false。（8分）
（3）由（2）得平面false即为截面false。（8分）
false，false，
设正方形边长为1，则false，false，
∴体积比为false。（12分）