【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.1.2知能优化训练

1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案：A
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)
A．4　　　　　 　　　　　　　 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C.＝
＝
＝＝2Δx＋4.
3．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝
＝7Δt＋14t0，
当li (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
答案：
4．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴li ＝li (1＋)＝2，
从而y′|x＝1＝2.
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析：选B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率等于(　　)
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，故选B.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B.＝＝18＋3Δt，
s′＝li ＝li (18＋3Δt)＝18，故选B.
4．某质点沿曲线运动的方程y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该点从x＝1到x＝2时的平均速度为(　　)
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
解析：选D.令f(x)＝y＝－2x2＋1，
则质点从x＝1到x＝2时的平均速度＝＝＝＝－6.
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)
A．－0.88 m/s B．0.88 m/s
C．－4.8 m/s D．4.8 m/s
解析：选C.s′|t＝1.2＝li ＝－4.8.
6．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选B.∵＝＝－Δx－3，
∴li ＝－3.
二、填空题
7．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，
则li ＝________.
解析：li ＝f′(1)＝1.
答案：1
8．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.
解析：li
＝li
＝li
＝2ax＋2.
∴f′(1)＝2a＋2＝4，
∴a＝1.
答案：1
9．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则li ＝________.
解析：li
＝－2li
＝－2f′(x0)＝－2×11＝－22.
答案：－22
三、解答题
10．若f′(x0)＝2，求 的值．
解：令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.
则原式可变形为
＝－
＝－f′(x0)＝－×2＝－1.
11．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li
＝li ＝li (3－Δt)＝3.
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v瞬＝li
＝li
＝li
＝li (－Δt－1)＝－1.
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1.
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
12．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx＞0，∴Δx＞0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．