【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.1.3知能优化训练

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在　　　　　　　　　B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
解析：选A.f′(1)＝li ＝li ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.
3．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________________________________________________________________________.
解析：2＝li
＝2x0＋4，∴x0＝－1.
答案：－1
4．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的斜率小于1.
证明：∵y＝li
＝li
＝＝1－<1，
∴y＝x＋图象上的各点处的斜率小于1.
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
解析：选C.k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．
f′(x)＝li ＝li ＝
li ＝4x.则f′(2)＝8.
3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么(　　)
A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不确定
解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．
4．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析：选D.k＝li ＝li
＝li (2x＋Δx)＝2x.
∵倾斜角为，∴斜率为1.
∴2x＝1，得x＝，故选D.
5．设f(x)为可导函数，且满足li ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　)
A．2 B．－1
C. D．－2
解析：选B.∵li ＝－1，
∴li ＝－1，
∴f′(1)＝－1.
6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A.
y′＝li
＝li ＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有，解得.
二、填空题
7．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
解析：设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1.即切点坐标为(1,1)．
∴2－4＋P＝1，即P＝3.
答案：3
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝2.
答案：2
9．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为________．
解析：∵y＝x2－2，
∴y′＝li
＝li ＝li (x＋Δx)＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P(1，－)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
答案：45°
三、解答题
10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率
k＝y′|x＝1＝li ＝li (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由
解得或.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝ ＝ (Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，
无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9
∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，
∴a＝－3.