1.函数y=x3cosx的导数是( )
A.3x2cosx+x3sinx B.3x2cosx-x3sinx
C.3x2cosx D.-x3sinx
解析:选B.y′=(x3cosx)′=3x2cosx+x3(-sinx)=3x2cosx-x3sinx,故选B.
2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.∵f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4.∴a=.
3.曲线y=xlnx在x=1处的切线方程为________.
解析:∵y=xlnx,
∴y′=lnx+1,则切线斜率k=y′|x=1=1.
∴切线方程为y=x-1.
答案:y=x-1
4.求下列函数的导数:
(1)y=3x2+xcosx;(2)y=;(3)y=lgx-ex;
(4)y=sin2x-cos2x.
解:(1)y′=6x+cosx-xsinx.
(2)y′==.
(3)y′=(lgx)′-(ex)′=-ex.
(4)法一:y′=(sin2x-cos2x)′
=(sin2x)′-(cos2x)′=2cos2x+2sin2x
=2sin(2x+).
法二:∵y=sin(2x-),
∴y′=cos(2x-) ·2=2sin(2x+).
一、选择题
1.下列求导运算正确的是( )
A.′=1+
B.(log2x)′=
C.(3x)′=3x·log3e
D.(x2cos x)′=-2xsin x
解析:选B.′=1-,(3x)′=3xln3,
(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x.
2.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
解析:选B.由y′=3x2-6x在点(1,-1)的值为-3,故切线方程为y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.
3.(2011年高考湖南卷)曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选B.y′==.故y′|x==,
∴曲线在点M(,0)处的切线的斜率为.
4.函数y=x2cos2x的导数为( )
A.y′=2xcos2x-x2sin2x
B.y′=2xcos2x-2x2sin2x
C.y′=x2cos2x-2xsin2x
D.y′=2xcos2x+2x2sin2x
解析:选B.y′=(x2cos2x)′
=(x2)′·cos2x+x2·(cos2x)′
=2xcos2x-2x2sin2x.
5.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
解析:选B.由题意知f′(x)=4ax3+2bx,若f′(1)=2,即f′(1)=4a+2b=2,从题中可知f′(x)为奇函数,故f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2,故选B.
6.若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
解析:选B.∵f(x)=f′(-1)x2-2x+3,
∴f′(x)=f′(-1)x-2.
∴f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2.
∴f′(-1)=-1.
二、填空题
7.令f(x)=x2·ex,则f′(x)等于________.
解析:f′(x)=(x2)′·ex+x2·(ex)′=2x·ex+x2·ex=ex(2x+x2).
答案:ex(2x+x2)
8.设f(x)=ax2-bsinx,且f′(0)=1,f′()=,则a=________,b=________.
解析:∵f′(x)=2ax-bcosx,
∴f′(0)=-b=1,得b=-1,
f′()=πa+=,得a=0.
答案:0 -1
9.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,则c的值为________.
解析:∵f(x)=,∴f(c)=,
又f′(x)==,∴f′(c)=.
依题意知f(c)+f′(c)=0,∴+=0,
∴2c-1=0得c=.
答案:
三、解答题
10.求下列函数的导数:
(1)f(x)=ln(8x);
(2)f(x)=(+1)(-1);
(3)y=5log2(2x+1).
解:(1)因为f(x)=ln(8x)=ln8+lnx,
所以f′(x)=(ln8)′+(lnx)′=.
(2)因为f(x)=(+1)(-1)
=1-+-1
=-+=,
所以f′(x)=
=-(1+).
(3)设y=5log2u,u=2x+1,
则y′=5(log2u)′(2x+1)′==.
11.设f(x)=a·ex+blnx,且f′(1)=e,f′(-1)=.求a,b的值.
解:由f(x)=a·ex+blnx,
∴f′(x)=a·ex+,
根据题意有
解得,
所以a,b的值分别是1,0.
12.已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
解:由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b.
把f(x),f′(x)代入方程x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1得:
x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,
即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使方程对任意x恒成立,则需有a=b,b=2c,c-1=0,
解得a=2,b=2,c=1,
所以f(x)=2x2+2x+1.