【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.2.2（一）知能优化训练

1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．2x
C．6 D．9
答案：C
2．下列结论正确的是(　　)
A．若y＝cosx，则y′＝sinx
B．若y＝sinx，则y′＝－cosx
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
答案：C
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：10ln10
4．质点的运动方程是s＝，求质点在t＝2时的瞬时速度．
解：∵s＝，∴s′＝()′＝(t－5)′＝－5t－6.
∴s′|t＝2＝－5×2－6＝－，
即质点在t＝2时的瞬时速度是－.
一、选择题
1．y＝x2的斜率等于2的切线方程为(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0或2x－y－1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＝0
解析：选C.设切点为(x0，y0)，y′＝2x.y′|x＝x0＝2x0＝2，x0＝1，y0＝1，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选C.
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)
A．(，2) B．(，2)或(－，－2)
C．(－，－2) D．(，－2)
解析：选B.y′＝()′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，则f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析：选A.f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.故选A.
4．给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；②(sin)′＝cos；
③若y＝，则y′＝－；④(－)′＝ .
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而()′＝0，所以②错误；
()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
(－)′＝(－x－)′＝x－＝，
所以④正确，故选B.
5．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
解析：选A.设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α.
∵y′＝cosx，∴tanα＝y′|x＝x0＝cosx0.
∵－1≤cosx0≤1，∴－1≤tanα≤1.
又0≤α<π，∴α∈[0，]∪[，π)．
6．已知命题p：函数y＝f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y＝f(x)是一次函数．则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.常数函数的导数也是常数函数．故由p不能得q，而由q能得出p.
二、填空题
7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________________________________________________________________________.
解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.
∴lna＝－1，a＝.
答案：
8．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－1，则x＝________.
解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，
∴2x－3x2＝－1，解得x＝1或－.
答案：1或－
9．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于________．
解析：因为y′＝(lnx)′＝，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.由lnx0－1＝0，得x0＝e.∴k＝.
答案：
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝logx；(2)f(x)＝2－x.
解：(1)f′(x)＝(logx)′＝＝ .
(2)∵2－x＝()x，
∴f′(x)＝[()x]′＝()xln＝－()xln2.
11．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．
解：∵y＝，
∴y′＝()′＝(x)′＝x－，
∴y′|x＝8＝×8－＝.
即在点P(8,4)的切线的斜率为.
∴适合题意的切线的斜率为－3.
从而适合题意的直线方程为y－4＝－3(x－8)，
即3x＋y－28＝0.
12．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2012(x)．
解：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2012(x)＝f0(x)＝sinx.