云南省会泽县茚旺高级中学2012届高三上学期期中考试数学（文）试题

考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共 60分)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．已知全集U=R，集合则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则复数z的模等于（ ）
A．2 B．
C． D．4
3．如右图所示的程序框图的输出值，
则输入值（ ）
A．
B．
C．
D.
4．在等比数列中，且前n项和，则项数n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部。当时，的最大值为（ ）
A．8 B．0 C．-2 D．16
6．设的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
7．已知是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点△ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． 2 D．3
8．已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B．1
C． D．2
10．设，则函数
在区间[1，2]上有零点的概率是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列关于函数判断正确的是（ ）
①的解集是；
②是极小值，是极大值；
③没有最小值，也没有最大值.
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
12．定义域为R的函数对任意x都有，且其导函数，则当，有 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共4个小题。每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置）
13．若，若的最大值为，则的值是____________
14．如右上图，古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做
三角数，它们有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数
的差为 。
15．的展开式中各项系数和是128，则展开式中的系数是 。（用数字作答）
16．在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则= 。
三、解答题（本题共6小题，总分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知数列的前项和，
（1）求和；
（2）记，求数列的前项和.
18. （本题满分12分）已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.
19．（本题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年11月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。
20．（本题满分12分）
如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线 分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
高三数学（理工类）参考答案
一、选择题：
1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．C 9．A 10．C 11．Ｄ 12．A
二、填空题：
13．1 14．59 15.—35 16．2
三、解答题：
（Ⅱ） 设数列的前项和为，
时，， -------------------6分
时
故：数列的前项和 ---------------------10分
18．解：（1） …………2分
…………6分
（2）+
由正弦定理得 …………………9分
,,
所以 --------------------12分
（２）依题意，的取值为．　　　　　　　　　………………………7分
，　　　，
， ． …………………………9分
因此，的分布列如下：
………………10分
． …………………………12分
20.解：（法一）（1）平面平面， ．……………1分
又，
平面
而平面
． ………………………………………3分
是圆的直径，．
又，
．
平面，，
平面．
与都是等腰直角三角形．
．
，即（也可由勾股定理证得）．………………5分
， 平面．
而平面，
． ………………………………………………………………6分
（法二）（1）同法一，得． ……………………3分
如图，以为坐标原点，垂直于．．所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
． ………4分
由，
得， ． ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，
由 得，
令得，， ………………9分
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则， …………………………11分
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ……………………12分
（2）（法一）设直线的方程为，．，
则，． ………………………………5分
由，得， 同理得．…………………………7分
，，则． ………8分
由，得，． ……………………9分
则． …………………………11分
因此，的值是定值，且定值为． ………………………12分
（法二）①当时， ．，则， ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
． ………………………………………6分
22解：（1）的定义域为（0，+∞），
当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………2分
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减. …………4分
（2）因为，所以
当时，恒成立
令，则, ……………6分
因为，由得，
且当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减.所以，
故 ……………………8分
输出
是
开始
结束
输入
否
A
B
C
E
F
M
O
x
y
z
A
B
C
E
F
M
O