《面面垂直的性质》课件
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(共22张PPT)
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
提出问题：
该命题正确吗？
Ⅰ. 观察实验
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系
Ⅱ.概括结论
平面与平面垂直的性质定理
b
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简述为：
面面垂直
线面垂直
该命题正确吗？
符号表示：
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系？
巩固练习：
下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直
D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.
例1：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系
（2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
面面垂直
线面垂直
性质定理
判定定理
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法一：
γ
α
β
a
b
c
P
M
N
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a，
所以 a⊥γ.
线线垂直
线面垂直
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
P
b
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
∩
∩
因为α ⊥γ，
所以b α，
因为β ⊥γ，
因此b β，
故α ∩ β= b.
由已知 α∩ β= a，
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
同一法
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
b
c
b′
c′
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所以 b′ ‖c′,
∩
∩
∩
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
所以 b′ ‖ a,
故 a ⊥ γ.
线线平行
线面垂直
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
B
C
E
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α，AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
C
D
E
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
M
D
E
C
A
B
（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角。
小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
α
β
a
A
B
线线平行
面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示:
简述为：
面面垂直
线面垂直
A
A1
B1
C1
B
C
E
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
α
β
练习：
1、下列命题中错误的是（ ）
A 如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面
B如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面
C如果平面 不垂直于平面 ，则平面 内一定不存在直线垂直于平面
D如果平面 、 都垂直于平面M，且 与 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α
β
α
β
β
β
β
α
α
α
β
β
α
α
B
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3 B 2 C 1 D 0
B
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
提出问题：
该命题正确吗？
Ⅰ. 观察实验
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系
Ⅱ.概括结论
平面与平面垂直的性质定理
b
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简述为：
面面垂直
线面垂直
该命题正确吗？
符号表示：
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系？
巩固练习：
下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直
D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.
例1：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系
（2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
面面垂直
线面垂直
性质定理
判定定理
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法一：
γ
α
β
a
b
c
P
M
N
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a，
所以 a⊥γ.
线线垂直
线面垂直
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
P
b
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
∩
∩
因为α ⊥γ，
所以b α，
因为β ⊥γ，
因此b β，
故α ∩ β= b.
由已知 α∩ β= a，
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
同一法
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
b
c
b′
c′
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所以 b′ ‖c′,
∩
∩
∩
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
所以 b′ ‖ a,
故 a ⊥ γ.
线线平行
线面垂直
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
B
C
E
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α，AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
C
D
E
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
M
D
E
C
A
B
（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角。
小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
α
β
a
A
B
线线平行
面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示:
简述为：
面面垂直
线面垂直
A
A1
B1
C1
B
C
E
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
α
β
练习：
1、下列命题中错误的是（ ）
A 如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面
B如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面
C如果平面 不垂直于平面 ，则平面 内一定不存在直线垂直于平面
D如果平面 、 都垂直于平面M，且 与 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α
β
α
β
β
β
β
α
α
α
β
β
α
α
B
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3 B 2 C 1 D 0
B