2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.1菱形的判定与性质》同步能力达标训练（word版含解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的判定与性质》同步能力达标训练（附答案）
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．是轴对称图形
2．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．8
B．2
C．4
D．2
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．25
B．20
C．15
D．10
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）
A．60°
B．75°
C．80°
D．110°
5．如图，在?ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形
B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD
D．∠BAD＝∠ABC
6．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．15
B．24
C．30
D．60
7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD相交于F，下列结论不正确的是（　　）
A．∠EBF＝30°
B．BE＝BF
C．FA＞EF
D．OE⊥BC
9．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　）
A．5
B．7
C．8
D．6.5
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．+1
D．2﹣1
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，AE＝DF，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①∠DBC＝60°；②△AED≌△DFB；③∠BGE＝60°，正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
13．如图，?ABCD中，AB＝5a，BC＝4a，∠A＝60°，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG和菱形BHIL，它们的重叠部分是平行四边形IJFK．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK的面积为（　　）
A．a2
B．2a2
C．
D．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是
　
　．
15．如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是
　
　．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的度数是
　
　．
17．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OEB＝　
　．
18．菱形两邻角的比为1：2，边长为2，求该菱形的短对角线的长度
　
　．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　
　．
20．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．
21．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）证明四边形BEDF是菱形．
22．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若点E在AD上，且BE＝DC，求证：四边形BECD是菱形．
23．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝CF，BC＝6，求四边形AECF的面积．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
26．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别在线段AB，AD，CD，BC上，BE＝DF，EG∥BC，FH∥DC，EG与FH相交于点P．
（1）求证：四边形HCGP是菱形．
（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．
参考答案
1．解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
2．解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝8，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA＝AD＝8，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝4．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝5＝AD＝CD，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
4．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF＝DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠CDF＝∠DCF＝35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ADF＝110°﹣35°＝75°，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
6．解：菱形的面积＝×6×10＝30，
故选：C．
7．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
8．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝BD（公共边）
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；
∴∠EBF＝30°．
∴A正确；
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°，
∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF．
∴B正确；
∴FA＞EF，
∴C正确；
假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°，
∵∠BEF＝75°，
∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE，
∴OE＝OA＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝60°，
∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾，
∴假设不成立，
∴OE⊥BC错误，
∴D不正确．故选：D．
9．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝＝ab＝3．
故选：B．
10．解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，
∵PB＝3，
∴HP＝1，
在Rt△CHP中，CP＝＝＝7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，
∴∠APQ＝∠CQP，
∴∠CQP＝∠CPQ，
∴CQ＝CP＝7．
故选：B．
11．解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝x，
在Rt△DHE中，DH?+HE?＝DE?,
∴（x）?+(2﹣x)?＝()?,
解得：x＝(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．
12．解：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故①、②正确；
当点E，F分别是AB，AD中点时，
∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故③正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：D．
13．解：由题意?ABCD的周长为2（AB+BC）＝18a，
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：?EALJ的周长＝?IJFK的周长＝?GKHC的周长＝×18a＝6a，
∴IJ+JF＝EJ+JL＝GK+KH＝3a，
∴IJ+JL+JF+EJ＝6a，IJ+KH+GK+JF＝6a，
又∵AB＝5a，BC＝4a，且四边形DEFG和四边形BHIL是菱形，
∴EF＝IL＝3a，AE＝JF＝a，IJ＝2a，∠IJF＝∠DEF＝∠A＝60°，
过点I作IP⊥EF，
∴在Rt△IJP中，
JP＝IJ＝a，IP＝＝a，
∴平行四边形IJFK的面积为JF?IP＝a2，
故选：D．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB＝BC＝AC＝1cm．
故答案为：1cm．
16．解：连接AC，
在菱形ABCD中，AB＝CB，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
又∠EAF＝∠D＝60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
又∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，
则∠CEF＝80°﹣60°＝20°．
故答案为：20°．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°．
∵DE⊥BC，
∴OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°．
故答案为70°．
18．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝AD＝2，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∵AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD＝BD＝2，
故答案为2．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
20．证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，
∴∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
22．证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD；
（2）∵BD＝CD，BE＝CD，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ADC，
∴BE∥DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
又∵BD＝CD，
∴四边形BECD是菱形．
23．解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．
24．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴FA＝FC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵EF⊥AC，
∴∠ADF＝∠ADE＝90°．
∴∠FAC+∠AFE＝90°，∠EAC+∠AEF＝90°．
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∴AF＝FC＝CE＝EA，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：AF＝FC＝CE＝EA，四边形AECF是菱形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠B+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE，
∵AB＝CF，
∴AB＝BE＝AE＝CE＝BC＝3，
∴AC＝＝＝3，△ABE的面积＝△ACE的面积，
∴菱形AECF的面积＝2△ACE的面积＝△ABC的面积＝AB×AC＝×3×3＝．
25．证明：（1）∵点E为BC的中点，
∴CE＝BE，
又∵EF＝DE，
∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
即DF⊥CB，
∴四边形CFBD是菱形；
（2）∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC＝2DE，
∵DF＝2DE＝2EF，DF＝2，
∴AC＝2，EF＝1，
∵CF＝，四边形CFDB是菱形，
∴∠CEF＝90°，
∴CE＝＝＝3，
∵∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝，
即AE的长是．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EG∥BC，FH∥DC，
∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，
∴BE＝CG，CH＝DF，
∵BE＝DF，
∴CG＝CH，
∴平行四边形HCGP是菱形；
（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，
∵四边形BHPE是菱形，
∴BE＝BH，
∴BE＝BH＝CH＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴BE＝AB，
∴点E是线段AB的中点