(共17张PPT)
课前热身
1、把下列各式分解因式:
(1)你用什么方法进行分解因式?
(2)这种方法的关键是什么?
旧知回顾
1、公因式的找法:
(1)定系数:
取各项系数的最大公约数;
(2)定字母及指数:
取各项相同字母的最低次幂。
2、提公因式法的定义:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就
可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两
个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因
式法。
北师大版八年级(下)
2.2 提公因式法(2)
学习目标:﹙时间:1分钟﹚
(1)进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
(2)进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
某大学有三块草坪,第一块面积为(a+b)2m2,
第二块草坪面积为a(a+b)m2,第三块草坪面积为(a+b)bm2 ,求这三块草坪的总面积。
情景引入
三块草坪的总面积为:
怎样计算上述多项式的和呢?
1、请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“ ”,使等式成立:
自学指导1:﹙时间:6分钟﹚
自学课本P50页,完成下面问题:
新知归纳
符号规律:
(1)(a–b)与(b–a)互为相反数:
①当n为偶数时, (a–b)n=(b–a)n ;
②当n为奇数时, (a–b)n= – (b–a)n 。
(2)(a+b)与(–a–b)互为相反数:
①当n为偶数时, (a+b)n=(–a–b)n ;
②当n为奇数时, (a+b)n= – (–a–b)n 。
(3)(a+b)与(b+a)是相同的数:
当n为整数时, (a+b)n=(b+a)n 。
2、把 分解因式。
自学检测
解:
3、把下列各式分解因式:
自学检测
4、请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“ ”,使等式成立:
自学检测
例1、把 分解因式。
范例讲解
解:
5、把下列各式分解因式:
自学检测
例2、把 分解因式。
范例讲解
解:
5、把下列各式分解因式:
自学检测
ⅰ、某大学有三块草坪,第一块面积为(a+b)2m2,
第二块草坪面积为a(a+b)m2,第三块草坪面积为(a+b)bm2 ,求这三块草坪的总面积。
合作交流
三块草坪的总面积为:
5、先分解因式,再计算求值:
巩固练习
课堂小结
符号规律:
(1)(a–b)与(b–a)互为相反数:
①当n为偶数时, (a–b)n=(b–a)n ;
②当n为奇数时, (a–b)n= – (b–a)n 。
(2)(a+b)与(–a–b)互为相反数:
①当n为偶数时, (a+b)n=(–a–b)n ;
②当n为奇数时, (a+b)n= – (–a–b)n 。
(3)(a+b)与(b+a)是相同的数:
当n为整数时, (a+b)n=(b+a)n 。(共9张PPT)
运用公式法分解因式
扫雷课件
提取公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法: ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
把下列各式分解因式
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1)
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
复习1:分解因式学了哪些方法
(有公因式,先提公因式。)
(因式分解要彻底。)
复习2:
除了平方差公式外,还学过了哪些公式?
复习3、下列整式乘法运算你会吗?
⑴、(n+m)2 = ——————;
⑵、(x-y)2 =——————;
⑶、(x+b)2 = ——————。
以上的运算可直接用乘法公式:——————————。
我们把完全平方公式反过来,得
(a±b)2 =a2±2ab+b2
n2+2mn+ m2
x2-2xy+y2
X2+2bx+b2
a2±2ab+b2 = (a±b)2
a 、b指整式
你从完全平方公式逆运算可发现什么?
利用完全平方公式可对相关的多项式进行分解因式
用公式法正确分解因式关键是什么?
熟知公式特征!
完全平方式
从项数看:
完全平方式
都是有 项
3
从每一项看:
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从符号看:
平方项符号相同
a2 ± 2 a b + b2 = ( a ± b )2
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
(即:两平方项的符号同号,首尾2倍中间项)
是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示(a+b)2或(a-b)2
是
a表示2y,
b表示1
否
否
否
是
a表示2y,
b表示3x
是
a表示(a+b),
b表示1
试一试1
多项式
是
a表示x,
b表示3
是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示(a+b)2或(a-b)2
否
否
是
a表示 ,
b表示3n
试一试2
多项式
是
a表示x,
b表示1/2
试一试3:
(1)a2+ +b2=(a+b)2
(2)a2-2ab+ =(a-b) 2
(3)m2+2m+ =( ) 2
(4)n2-2n+ =( )
(5)x2-x+0.25=( ) 2
(6)4x2+4xy+( ) 2=( ) 2
2ab
b2
1
m+1
1
n-1
x-0.5
y
2x+y
当堂练习:﹙8min﹚
完成《亮点激活》
P26中课前热身。(共25张PPT)
—平方差公式
1
什么叫因式分解?
因式分解与整式乘法有
什么联系?
我们学过哪些乘法公式?
温故知新
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
乘法公式
因式分解
反过来
a - b = (a+b)·(a-b)
因式分解
整式乘法
平方差公式
平方差公式
(1)公式:
(2)语言:
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
平方差公式
(1)公式:
两数的和
与差相乘
两个数的平方差;只有两项
①左边
②右边
相同项
相反项
(3)公式特点:
平方差公式
(1)公式:
(4)形象表示:
2
2
□-△=(□+△)(□-△)
2
2
☆-○=(☆+○)(☆-○)
平方差公式
(1)公式:
(5)举例说明:
牛刀小试
牛刀小试
练习2:下列多项式可不可以用平方差公式分解因式?
×
√
牛刀小试
√
×
多项式具有什么特征时,可以用平方差公式因式分解?
(1)多项式是二项式;
(2)每一项都可以写成平
方的形式;
(3)两项的符号相反,
一正一负.
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
﹙时间:1分钟﹚
自学课本P54页例1、例2完成下面问题:﹙6分钟﹚
自学检测1 把下列各式分解因式:
自学指导 ①
自学检测2
将分解进行到底!
注意:
说到
就要做到
范例讲解
1、把下列各式分解因式:
检测3
把 分解因式。
范例讲解
解:
新知归纳
分解因式的一般步骤:
(1)一“提”:
提公因式分解;
(2)二“用”:
运用公式分解;
(3)三“查”:
检查各括号内的整式能否再进行分
解因式。
将下列各式分解因式:
(1)
(2)
自学检测4
合作学习:
如何把下式因式分解?
哪种方法好?
首先提取公因式,然后考虑用公式,最终必是连乘式。
提示:
课堂小结
1、平方差公式:
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两
个数的差的积。
2、分解因式的一般步骤:
(1)一“提”:
提公因式分解;
(2)二“用”:
运用公式分解;
(3)三“查”:
检查各括号内的整式能否再进行分
解因式。
课后思考
两个连续奇数的平方差能被8整除吗?为什么?
?
?
知识拓展
英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄?”狄摩根想了想说:“今年,我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141,你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗?”假设狄摩根的年龄为x岁,他弟弟的年龄为 y岁,你能算出他们的年龄吗?
结束寄语:
“干下去还有50%成功的希望,不干便是100%的失败。”(共24张PPT)
北师大 · 数学 · 八年级(下)
揭阳立才中英文学校 董新军
复习课
本章小结
学习目标
1、复习因式分解的概念,以及提公因式法,运用公式法分解因式的方法,进一步理解有关概念,能灵活运用上述方法分解因式。
2、熟悉本章的知识结构图,培养归纳总结能力。
自学指导1:(8分钟)
自学课本P37页:回忆本章所学的知识内容,与同学交流。
1、分解因式与整式乘法的关系
2、分解因式常用的方法有
平方差公式:
和的完全平方公式:
差的完全平方公式:
3、分解因式的一般步骤为:
(1)若多项式各项有公因式,则先 .
(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用 或
(3)每一个多项式都要分解到
4、认真完成章末复习题,有问题记下来,与同学交流。,
、
请你说一说什么叫分解因式,它与整式的乘法有什么关系?
思考:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
议 一 议
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系
分解因式与整式乘法是互逆过程
理解 · 定义
、
请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式.
(1)x2-2=(x+1)(x-1)-1
(2)(x-3)(x+2)=x2-x+6
(3)3m2n-6mn=3mn(m-2)
(4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc
(5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2
答案:
(3) (5)
回顾与思考:
我们学习了哪些因式分解的方法?
1、提取公因式法
2、运用公式法
平方差公式
完全平方公式
回顾、思考与练习:
1、提取公因式的时候我们应该注意什么问题?
提取多项式中各项相同整式的最低次幂
提公因式法,例1 :
提公因式法,例2 :
2、分解因式的时候可用的公式有哪些呢?
a-b = (a+b) (a-b)
2
2
利用平方差公式分解因式
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)
=(3m+n)(m+3n)
思考:如何运用完全平方公式分解下列因式?
有时分解因式的时候可能用到几种方法,即几种方法的综合运用。
练习下面的题目并思考用到了哪些方法?
创新训练:
1、关于x的多项式2x-11x+m分解因式后有一个因式是x-3,试求m的值
解:令原式=(x-3)A。当x=3时,右边=0,把x=3代入左式应有2×3-11×3+m=0,故m=15。
2
2
2、已知a为正整数,试判断a+a是奇数还是偶数,请说明理由。
解:因为a+a=a(a+1)中,a,a+1是连续两个整数,其必为一奇一偶,故而它们的乘积必是偶数。
2
2
3、已知关于x的二次三项式3x-mx+n分解因式的结果式(3x+2)(x-1),试求m,n的值 。
2
解: 由3x-mx+n=(3x+2)(x-1)=3x-x-2,故m=1,n=-2。
2
2
5 999-999能被998整除吗?能被998和1000整除吗?为什么?
3
解:∵999-999=999(999-1)=999×(999-1)×(999+1)=999×998×1000
∴999-999能被998整除,也能被998和1000整除
3
2
3
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
阅读 体验 小结
通过前面的练习 分解因式有哪些作用呢?
补充练习
若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
作业:
补充(共22张PPT)
北师大 · 数学 · 八年级(下)
课前热身
1、计算:
旧知回顾
下列计算是什么运算?
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式
整式乘法
1.整式乘法有几种形式
2.乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
想一想
回顾 & 思考
学习目标:﹙时间:1分钟﹚
1、了解分解因式分解的意义,知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
2、通过观察,发现分解因式与整式乘法的关系,培养观察能力和语言概括能力。
自学指导1:﹙时间:4分钟﹚
自学课本P43-44页“想一想、议一议” ,完成下面问题:
你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流。
你知道每一步的根据吗
想一想: 993-99还能被哪些整数整除
自学检测
993–99能被100整除吗?
小明是这样做的:
∴993–99能被100整除.
逆用乘法分配律
逆用平方差公式
993–99还能被98、100 等数整数整除。
Ⅰ、计算下列各式:
新知探究
Ⅱ、根据左边算式填空:
积的形式
转化
和的形式
和的形式
转化
积的形式
整式乘法
叫什么运算?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
议 一 议
自学指导2:(2分钟)
自学课本P44-45页“想一想”,完成下面问题:
1、什么叫做分解因式?
2、你认为分解因式和整式乘法有怎样得关系?
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
分解因式与整式乘法是互逆过程
理解 · 定义
分解因式
整式乘法
例1、下列由左边到右边的变形,哪些是分解因
式
范例讲解
1、下列由左边到右边的变形,哪些是分解因式?
为什么?
自学检测
2、连一连:
自学检测
合作交流
ⅰ、20122–2012能被2011整除吗?为什么?
∴20122–2012能被2011整除。
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
阅读 体验
1、(1)19992+1999能被1999整除吗?能被2000整
除吗?
(2) 能被4整除吗?
课后思考
2. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
3. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人共同完成,已知甲工人每天加工23个零件,乙工人每天加工19个零件,丙工人每天加工18个零件,三人需共同做12天才能做完,要加工的零件共有多少?
寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!
See you later !(共23张PPT)
课前热身
1、请指出下列各式中,从左到右的变形哪个是
分解因式:
整式乘法和分解因式有什么关系?
旧知回顾
1、分解因式的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
2、整式乘法与分解因式的关系:
整式乘法
分解因式
整式乘法与分解因式是互逆运算。即:
北师大版八年级(下)
2.2 提公因式法(1)
学习目标:﹙时间:1分钟﹚
1、了解多项式公因式的意义,会确定多项式各项的公因式。
2、初步会用提公因式法分解因式。
自学指导1 ﹙时间:4分钟﹚
自学课本P47页“议一议”及上面的内容回答下列问题
:1、什么叫做公因式?
2、正确找出多项式各项公因式的关键是什么?
系数:
字母:
指数:
3、理解提取公因式的意义,它实质是什么?
观察下列各式的结构有什么特点:
⑴ 5×3+5×(-6)+5×2
⑵ 2πR+2πr
⑶ ma+mb
⑷ cx-cy+cz
⑴ 5×3+5×(-6)+5×2
⑵ 2πR+2πr
⑷ cx-cy+cz
公共特点:各式中的各项都含有一个相同的因数或因式
我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
⑶ ma+mb
1) a c+ b c
2)3 x2 +9xy
3) a2 b – 2a b2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
(1)确定下列各多项式中的公因式?
自学检测2
c
3x
ab
2xy
(2)多项式中的公因式是如何确定的?(交流探索)
例1: 找 2 x 2 + 6 x 的公因式。
定系数
2
定字母
x
定指数
2
3
所以,公因式是 2 x
2
2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X)
2
3
2
小结:
正确找出多项式各项公因式的关键是:
公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 (当系数是整数时)
定系数:
字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。
定字母:
定指数:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么
就可以把这个公因式提出来,从而将多项式
化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的
方法叫做提公因式法。
2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X)
2
3
2
自学指导2:(6分钟)
自学课本P47-48页例1、 “想一想”,完成下面问题:
1、在对多项式进行因式分解时应该注意什么?
2、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系?
(1) 3a2-9ab
用提公因式法分解因式的步骤:第一步,找出公因式;
第二步,提取公因式 ;
第三步, 将多项式化成两个因式 乘积的形式。
例2 、 将下列各式分解因式:
解:原式 =3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
(2)7x - 21x
2
(3) 8a b -12ab c+ab
3
2
3
解:原式=7x x-7x 3
=7x(x-3)
解:原式=ab 8a b-ab 12b c +ab 1
2
2
=ab(8a b-12b c+1)
2
2
(4) – 24x3 –12x2 +28x
解:原式=
=
当多项式第一项系数是负数,通常先提出“ ”号,使括号内第一项系数变为正数,注意括号内各项都要变号。
把下列多项式分解因式:
(1)12x2y+18xy2; (2)-x2+xy-xz;
(3)2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题,他们的解法如下:
你认为他们的解法正确吗?试说明理由。
甲同学:
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学:
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)
丙同学:
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)
ⅱ、把下列各式分解因式,你有什么要注意的?
合作交流
注意:
(1)公因式要提尽;
(2)防止漏项;
(3)首相为负先提出。
把下列各式分解因式:
(1)4kx-8ky
(2)a b-2ab +ab
(3)-3ma +6ma -12ma
2
2
2
3
2、确定公因式的方法:
小结与反思
3、用提公因式法分解因式的步骤:
1、什么叫公因式、提公因式法?
4、用提公因式法分解因式应注意的问题:
(1)公因式要提尽;
(2)小心漏项;
(3)首项为负与众不同。
第一步,找出公因式; 第二步,提公因式; 第三步,把多项式化成两个因式乘积的形式。
1)定系数 2)定字母 3)定指数
已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!
作业:
课本P49习题2.2
第1题,第2题(共15张PPT)
课前寄语:
“干下去还有50%成功的希望,不干便是100%的失败。”
加油,给力八年3班!
—2012.03.09
运用公式法分解因式
第2课时
学习目标:﹙1min﹚
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式.
自学P57中例3及上面的内容回答下面的问题及完成下面的分解因式:
1、什么样的代数式叫做完全平方式?
学习指导:﹙时间:5分钟﹚
2、填空。 (1)a2+ +b2=(a+b)2 (2)a2-2ab+ =(a-b) 2 (3)m2+2m+ =( ) 2 (4)n2-2n+ =( ) 2 (5)x2-x+0.25=( ) 2 (6)4x2+4xy+( ) 2=( ) 2
2ab
b2
1
m+1
1
n-1
x-0.5
y
2x+y
判断因式分解正误。
(1) -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为: -x2-2xy-y2
=-( x2+2xy+y2)
=-(x+y)2
(2)a2+2ab-b2
错。此多项式不是完全平方式
自学检测3
在因式分解过程中,先把多项式化成符合完全平方公式: a2±2ab+b2 = (a±b)2的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a , b可以是单项式,也可以是多项式. ;
我们的收获:自学例3可以发现什么?
因式分解:
(1)25x2+10x+1
解:原式=(5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
自学检测4
解:原式=(3a)2-2×3a×b+b2
=(3a-b)2
因式分解:
解:原式=(7a)2+2×7a×b+b2
=(7a+b)2
(4)-a2-10a -25
解:原式=-(a2+2×a×5+52)
=- (a+5)2
自学检测6:
自学P57中例4完成自学检测6然后思考下列问题:
自学指导:﹙时间:5分钟﹚
通过自学例4和解这两题,你有什么收获?
我们的收获
因式分解一般步骤:
1、第一项是负号,先提取负号。
2、若有公因式,应提取公因式,再用公式法分解因式。
3、分解因式后的每个因式应为不能再分解了。
4、分解因式时,要灵活采用方法
分解因式:
2.
3.
=-(x+4)2
=(3x+y)2
=a(x+a)2
把下列各式因式分解
总结与反思:
1:整式乘法的完全平方公式是:
2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是:
3:完全平方公式特点:
含有三项;两平方项的符号同号;首尾2倍中间项
我们的收获
因式分解一般步骤:
1、第一项是负号,先提取负号。
2、若有公因式,应提取公因式,再用公式法分解因式。
3、分解因式后的每个因式应为不能再分解了。
4、分解因式时,要灵活采用方法