云南省会泽县茚旺高级中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题

考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、下列等于1的积分是 （ ）
A． B． C． D．
2、若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（ ）
A． B．或 C． 或 D．
3、曲线在点（0，1）处的切线方程为
A． B． C． D．
4、已知是两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．左移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．右移个单位
6、函数的图象大致是 （
7、设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面. 考察下列命题,其中真命题是
A. B.∥,∥
C.∥ D.
8. 某同学设计右面的程序框图用以计算和式的值，
则在判断框中应填写 ( )
A． B．
C． D．
9、展开式中的常数项为 （ ）
A. B. 220 C. D. 1320
10、已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是(　　)
A. B. C. D.
11、已知P是椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若的内切圆的半径为，则（ ）
A． B． C． D．
12.、已知a是函数的零点，若0A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0 C． f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13、设变量满足约束条件则的最大值为 。
14、直线与圆交于A、B两点，且,则 。
15、一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则
这个三棱柱的侧视图的面积为 。
16、已知且,则的值是 .
三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（本小题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差其中为的平均数）
19．（本小题满分12分）
如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点.
（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C:，的离心率为，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线的方程。
21．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
22．（本小题满分10分）
已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
会泽县茚旺高级中学2012年春季学期高二期中考试
数学参考答案：
一、选择题
二、填空题
13． 4 ； 14． 2 ；　　　15． ； 16．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
（Ⅱ）由（I）得
…………12分
（理）在中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，由，得…………………………2分
又由正弦定理 ………………………………………3分
得……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理：得：……6分
即，解得或（舍去），所以………………7分
所以，……………8分
，即……………… ……12分
18．（本小题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差其中为的平均数）
19．（本小题满分12分）
如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点.
（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ）（文）求证：. 　
（理）若，求二面角的余弦值；
证明: （Ⅰ）因为为中点，
所以 ………1分
又，
所以有 …………………2分
所以为平行四边形,所以 ………3分
又平面平面
所以平面 . ………5分
（理）取AD的中点E，连接OE、PE，设，则
又，
,
是二面角的平面角 9分
在中，，,
11分
二面角的余弦值为。 12分
（其它解法酌情给分）
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C:，的离心率为，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过（-1,0）的直线与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线的方程。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则，解得，所以椭圆的方程为. ----------4分
方法二：设交点，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
则易得. ----------6分
当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得
21．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
【解析】（Ⅰ）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
（2′）令=0，
解得．（∵）
因为有唯一解，所以，当时，
，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值………6分
（Ⅱ），，
则有≤，在上恒成立，8分
所以≥， 10分
当时，取得最大值，
所以≥………12分
22．（本小题满分10分）
（文）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 它与曲线C：交于A、B两点。
（Ⅰ）求|AB|的长
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。
（理）已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
（理）[解] （Ⅰ）， ①
当时，. ②
由 ① - ②，得.
. …… 3分
又 ，，解得 . …… 4分
数列是首项为1，公比为的等比数列.
（为正整数）. …… 5分