集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．集合M={（1，2），（2，1）}中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列关系正确的是（ ）
A．0={0}
B．??{0}
C．0?{0}
D．??{0}
3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．设集合A={2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a=（ ）
A．﹣3或﹣1或2
B．﹣3或﹣1
C．﹣3或2
D．﹣1或2
5．集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示（ ）
A．方程y=2x﹣1
B．点（x，y）
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合
6．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．31
B．32
C．3
D．4
7．设集合，那么（ ）
A．M=N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N=?
8．已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，若A=B，则a=（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
9．已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（ ）
A．9
B．8
C．5
D．4
10．已知集合A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}，若B?A，则实数m=（ ）
A．3
B．2
C．2或3
D．0或2或3
二．填空题（共2小题）
11方程组的解构成的集合是
．
12．已知a∈R，b∈R，若{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2017+b2017=
．
三．解答题（共3小题）
13．已知集合A={x|x＜﹣1或x＞4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B?A，求实数a的取值范围．
14．集合A={x|kx2﹣8x+16=0，k∈R}．若集合A至多有一个元素，试求实数k的范围，并写出相应的集合A．
15．已知集合A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．集合M={（1，2），（2，1）}中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：根据题意，集合M={（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），
共2个元素，
故选：B．
2．下列关系正确的是（ ）
A．0={0}
B．??{0}
C．0?{0}
D．??{0}
【解答】解：元素与集合之间的关系，只能用“∈”，“?”，
故A，C错误；
空集是任何集合的子集，
故B正确，D错误；
故选：B．
3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【解答】解：根据集合的性质可知，a≠b≠c
∴△ABC一定不是等腰三角形．
故选：D．
4．设集合A={2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a=（ ）
A．﹣3或﹣1或2
B．﹣3或﹣1
C．﹣3或2
D．﹣1或2
【解答】解：若1﹣a=4，则a=﹣3，
∴a2﹣a+2=14，
∴A={2，4，14}；
若a2﹣a+2=4，则a=2或a=﹣1，
a=2时，1﹣a=﹣1
∴A={2，﹣1，4}；
a=﹣1时，1﹣a=2（舍），
故选：C．
5．集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示（ ）
A．方程y=2x﹣1
B．点（x，y）
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合
【解答】解：集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合．
故选：D．
6．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．31
B．32
C．3
D．4
【解答】解：∵集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={x∈N|﹣3≤x≤1}={0，1}，
∴集合A的真子集个数为22﹣1=3．
故选：C．
7．设集合，那么（ ）
A．M=N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N=?
【解答】解：由题意可得M={x|x=?180°+45°，k∈+1）?45°，k∈Z}，
即45°的奇数倍构成的集合，
又N={x|x=?180°+45°，k∈+1）?45°，k∈Z}，即45°的整数倍构成的集合，
∴M?N，
故选：B．
8．已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，若A=B，则a=（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【解答】解：∵A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，
若A=B，则1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a=0得两根，
则，即a=2．
故选：B．
9．已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（ ）
A．9
B．8
C．5
D．4
【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，
当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
10．已知集合A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}，若B?A，则实数m=（ ）
A．3
B．2
C．2或3
D．0或2或3
【解答】解：∵A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}，
∵B?A，
当m=0时，B=?，成立；
当m≠0时，B═{}，
∴2=，或3=，
∴m=2，或m=3，或m=0，
故选：D．
二．填空题（共2小题）
11方程组的解构成的集合是 {（1，1）} ．
【解答】解：解得
所以方程组的解构成的集合是{（1，1）}
故答案为{（1，1）}
12．已知a∈R，b∈R，若{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2017+b2017= ﹣1 ．
【解答】解：∵{a，，1}={a2，a+b，0}，
∴b=0，
∴{a，0，1}={a2，a，0}，
则1=a2，
解得，a=﹣1或a=1（舍去）．
则a2017+b2017=﹣1．
故答案为：﹣1
三．解答题（共3小题）
13．已知集合A={x|x＜﹣1或x＞4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B?A，求实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣1或x＞4}，B={x|2a≤x≤a+3}，B?A，
∴当B=?时，2a＞a+3，解得a＞3，成立；
当B≠?时，a+3＜﹣1或2a＞4，且2a＜a+3，
解得a＜﹣4或2＜a＜3．
∴实数a的取值范围是{x|a＜﹣4或2＜a＜3或a＞3}．
14．集合A={x|kx2﹣8x+16=0，k∈R}．若集合A至多有一个元素，试求实数k的范围，并写出相应的集合A．
【解答】解：由题意可知集合A中可以有一个元素，也可以没有元素
①当集合A中只有1个元素时，方程kx2﹣8x+16=0有一个解，
当k=0时，方程为﹣8x+16=0，解为x=2，则A={2}，
当k≠0，△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×16k=0，
解得k=1，
则方程kx2﹣8x+16=0的根为x=4，所以集合A={4}
②当集合A中没有元素，即A=Φ时，方程kx2﹣8x+16=0无解，
则，△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×16k＜0，
解得k＞1，
综上所述，当k=0时，集合A={2}；
当k=1时，集合A={4}；
当k＞1时，集合A=?．
15．已知集合A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}，A中有两个元素，
∴方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，
解得：a＞﹣，且a≠0；
（2）∵A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}，且A中至多有一个元素，
∴a=0或△=9+16a≤0，
解得：a=0或a≤﹣．
