集合的初步（2）
集合的基本运算
知识讲解
一、交集、并集、补集概念
1.交集
定义：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．
记作（读作“交”），即且
①
数学符号表示：且
②
Venn图反映：
2.并集
定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．
并集．（读作“并”）
①
数学符号表示：
或
②
Venn图反映：
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，记作，即且
①数学符号表示：
且
②Venn图反映：
二、集合的运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
三、容斥原理
．
典型例题
一．选择题（共5小题）
1．设全集U=Z，A={﹣1，0，2，4，7，8}，B={﹣2，﹣1，1，3，4，8}，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{﹣2，0，1，3}
B．{﹣2，1，3，4}
C．{﹣2，1，3}
D．{0，2，7}
【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中，但不在集合A中．
又A={﹣1，0，2，4，7，8}，B={﹣2，﹣1，1，3，4，8}，
则右图中阴影部分表示的集合是：{﹣2，1，3}．
故选：C．
2．某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙．在18位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他17人，则称其为“优秀人才”．那么这18人中“优秀人才”数最多为（ ）
A．1
B．2
C．9
D．18
【解答】解：据题意知：
若要是优秀人才，则一门学科第一或两门学科都是第一，
∴这18人中“优秀人才”数最多为2人．
故选：B．
3．已知集合M={x|x2﹣4＞0}，N=，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|x＜2}
C．N
D．M
【解答】解：M={x|x2﹣4＞0}={x|x＜﹣2或x＞2}，
由＜1，即﹣1＜0，即＜0，即x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，
故N={x|x＜0或x＞2}，
∴M∩N={x|x＜﹣2或x＞2}=M，
故选：D．
4．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?RA=（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，
则：?RA={x|﹣1≤x≤2}．
故选：B．
5．设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{﹣1，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，
∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，
又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，
∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
6．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为 4 ．
【解答】解：∵集合
A={1，2，3}，B={1，3，4}，
∴A∩B={1，3}，
∴A∩B的子集个数为22=4．
故答案为：4．
7．已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，集合B={x||x﹣1|＜1}，则A∩B= （0，1] ．
【解答】解：A={x|﹣3≤x≤1}，B={x|0＜x＜2}；
∴A∩B=（0，1]．
故答案为：（0，1]．
8．已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={0，1，2}，则A∩B= {0，1} ．
【解答】解：A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}；
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
9．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是 22 ．
【解答】解：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人，
同时会打乒乓球和排球的学生有y人，
同时会打排球和篮球的学生有z人，
∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，
16人不会打排球，
∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人，
会打乒乓球或排球的学生有16人，
会打篮球或打排球有22人，
∴x+y+z=24+16+22﹣40=22．
∴该班会其中两项运动的学生人数是22．
故答案为：22．
三．解答题（共6小题）
10．已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}
（1）若m=1时，求A∪B
（2）若B??RA，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）m=1时，A={x|﹣1＜x≤3}=（﹣1，3]，
B={x|1≤x＜4}=[1，4），
A∪B=（﹣1，4）；…（4分）
（2）?RA={x|x≤﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞），
由B??RA，可分以下两种情况：
①当B=?时，m≥1+3m，解得m≤﹣…（6分）
②当B≠?时，，解得m＞3；…（8分）
综上，m的取值范围是m∈（﹣∞，﹣]∪（3，+∞）．…（10分）
11．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=?，求m的范围．
【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，
若A∩B=?，
当B=?，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠?，可得或，
得或，
即为m∈?或m＞4，
综上可得m的范围是m＞4或m＜2．
12．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若B?C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|0＜x＜4}，
A∩B={x|0＜x≤3}，
A∪B={x|﹣1≤x＜4}；
（2）∵B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}，B?C
∴a≥4．
13．设全集是实数集R，A={x|≥0}，B={x|x2+a≤0}．
（1）当a=﹣4时，求A∪B；
（2）若（?RA）∩B=B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|≥0}={x|}，B={x|x2+a≤0}．（2分）
当a=﹣4时，B={x|﹣2≤x≤2}，（4分）
∴A∪B={x|﹣2≤x＜3}．（5分）
（2）CRA={x|x≥3或x＜}，B={x|x2+a≤0}．
由（?RA）∩B=B，得B?CRA，
则当a＞0时，B=?，满足B?CRA，则a＞0成立，
则当a=0时，B={0}，满足B?CRA，则a=0成立，（7分）
当a＜0时，B={x|﹣}，
则可得＜，即﹣，（9分）
综上：实数a的取值范围是（﹣，+∞）．（10分）
14．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x＜10}，C={x|x＞a}
（1）求A∪B；（?RA）∩B；
（2）若A∩C≠?，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x＜10}，
∴A∪B={x|4≤x＜10}，
∵?RA={x|x＜4或x≥8}，
∴（?RA）∩B={x|8≤x＜10}；
（2）∵A={x|4≤x＜8}，C={x|x＞a}，
∴a的范围是a＜8．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，
（Ⅰ）是否存在实数a，使B={﹣2}？
（Ⅱ）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
【解答】解：A={1，2}；
（Ⅰ）∵B={﹣2}；
∴；
∴a=﹣1且a=﹣3；
∴不存在；
（Ⅱ）∵A∩B=B；
∴B?A；
1°若B=?，则△=8a+24＜0；
∴a＜﹣3；
2°若B={1}，或{2}，则△=0；
∴a=﹣3，此时B={2}，符合题意；
3°B={1，2}时，，a无解；
综上：实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．集合的初步（2）
集合的基本运算
知识讲解
一、交集、并集、补集概念
1.交集
定义：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．
记作（读作“交”），即且
①
数学符号表示：且
②
Venn图反映：
2.并集
定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．
并集．（读作“并”）
①
数学符号表示：
或
②
Venn图反映：
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，记作，即且
①数学符号表示：
且
②Venn图反映：
二、集合的运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
三、容斥原理
．
典型例题
一．选择题（共5小题）
1．设全集U=Z，A={﹣1，0，2，4，7，8}，B={﹣2，﹣1，1，3，4，8}，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{﹣2，0，1，3}
B．{﹣2，1，3，4}
C．{﹣2，1，3}
D．{0，2，7}
2．某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙．在18位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他17人，则称其为“优秀人才”．那么这18人中“优秀人才”数最多为（ ）
A．1
B．2
C．9
D．18
3．已知集合M={x|x2﹣4＞0}，N=，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|x＜2}
C．N
D．M
4．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?RA=（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
5．设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{﹣1，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
二．填空题（共4小题）
6．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为
．
7．已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，集合B={x||x﹣1|＜1}，则A∩B=
．
8．已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={0，1，2}，则A∩B=
．
9．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是
．
三．解答题（共6小题）
10．已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}
（1）若m=1时，求A∪B
（2）若B??RA，求实数m的取值范围．
11．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=?，求m的范围．
12．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|0＜x＜4}，C={x|x＜a}
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若B?C，求实数a的取值范围．
13．设全集是实数集R，A={x|≥0}，B={x|x2+a≤0}．
（1）当a=﹣4时，求A∪B；
（2）若（?RA）∩B=B，求实数a的取值范围．
14．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x＜10}，C={x|x＞a}
（1）求A∪B；（?RA）∩B；
（2）若A∩C≠?，求a的取值范围．
15．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，
（Ⅰ）是否存在实数a，使B={﹣2}？
（Ⅱ）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
