幂与指数
知识讲解
一、指数运算
1.根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若，
则称的次方根，
当为奇数时，次方根记作；
当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作．
②性质：1）；
2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，．
2.幂的有关概念
①规定：1）N
；
N
个
2）；
3）Q，4）、N
且．
②性质：1）、Q）；
2）、
Q）；
3）
Q）．
注：上述性质对均适用．
典型例题
一、单选题
1．下列命题中正确的个数为（
）
①，②，则，③，④
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
①当为偶数时，，①错误；
②当时，，则，②正确；
③，③错误；
④，④错误
故选
【点睛】
本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题.
2．若，，且，b>0,则下列等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根式运算、对数运算以及指数运算，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
，故A错误；，故B错误；，故C错误．根据指数运算公式可知D选项正确.
故选D.
【点睛】
本小题主要考查根式运算、对数运算以及指数运算，属于基础题.
3．用分数指数幂表示：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用分数指数幂的运算法则即可确定所给的分数指数幂的值.
【详解】
．
故选A.
【点睛】
本题主要考查分数指数幂及其运算法则，属于基础题.
4．已知，则x等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．
【详解】
由题意，可知，可得，即，所以，解得．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
二、填空题
5．已知，则_________.
【答案】9
【解析】
【分析】
先由根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算可得，再将代入运算即可得解.
【详解】
解：，，
故答案为9．
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.
6．__________
.
【答案】
【解析】
【分析】
先将根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算性质，结合，运算即可得解.
【详解】
解：，
故答案为.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
7．计算______．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解．
【详解】
．
故答案为8．
【点睛】
本题考查指数式化简求值，指数的性质、运算法则等基础知识，是基础题．
8．化简：__________．
【答案】
【解析】
分析：根据实数指数幂的运算，即可化简得到结果．
详解：由实数指数幂的运算可得．
点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算，熟记实数指数幂的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
三、解答题
9．把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式（式中字母均为正实数）．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
直接利用根式与指数的互化公式求解.
【详解】
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】
本题主要考查根式与指数的互化，属于基础题.
10．将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解；
（2）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解；
（3）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解.
【详解】
（1）原式；
（2）原式=；
（3）原式＝.
【点睛】
本题考查了根式化为分数指数幂及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
11．化简或求值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可.
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题.
12．已知，，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】
先把根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算法则即可得解.
【详解】
因为，，
所以原式.
【点睛】
本题考查了根式化为分数指数幂的应用及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
13．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）41；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接由分数指数幂的运算性质化简即可.
（2）先化简所求，再代入x，y求值.
【详解】
（1）=36+9-5+1=41；
（2），
将代入得.
【点睛】
本题考查了分数指数幂的运算性质，根式的化简，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】(1)8；(2)；(3)64.
【解析】
【分析】
利用分数指数幂的定义转成根式，逐一计算即可.
【详解】
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【点睛】
本题考查了分数指数幂与根式的互化，属于基础题.
15．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；(4)
.
【解析】
【分析】
利用根式转化成分数指数幂，逐一计算即可.
【详解】
由分数指数幂的含义知，
(1)
，；
(2)
，；
(3)
，；
(4)
.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题.幂与指数
知识讲解
一、指数运算
1.根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若，
则称的次方根，
当为奇数时，次方根记作；
当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作．
②性质：1）；
2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，．
2.幂的有关概念
①规定：1）N
；
N
个
2）；
3）Q，4）、N
且．
②性质：1）、Q）；
2）、
Q）；
3）
Q）．
注：上述性质对均适用．
典型例题
一、单选题
1．下列命题中正确的个数为（
）
①，②，则，③，④
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若，，且，b>0,则下列等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．用分数指数幂表示：（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，则x等于
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．已知，则_________.
6．__________
.
7．计算______．
8．化简：__________．
三、解答题
9．把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式（式中字母均为正实数）．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
11．化简或求值．
（1）；
（2）．
12．已知，，求的值.
13．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
15．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
