函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．填空题（共11小题）
1．函数f（x）=的定义域为 [0，1] ．
【解答】解：要使函数有意义，则x﹣x2≥0，即x2﹣x≤0，解得0≤x≤1，
即函数的定义域为[0，1]．
故答案：[0，1]．
2．若函数f（x+1）的定义域[﹣6，2]，则函数f（1﹣x）定义域是 [﹣2，6] ．
【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣6，2]，即﹣6≤x≤2，
得﹣5≤x+1≤3，
∴函数f（x）的定义域为[﹣5，3]．
由﹣5≤1﹣x≤3，解得﹣2≤x≤6，
∴函数f（1﹣x）的定义域是[﹣2，6]．
故答案为：[﹣2，6]．
3．已知f（x2+1）定义域为[0，3]，则
f（2x﹣1）的定义域为 [1，] ．
【解答】解：∵f（x2+1）定义域为[0，3]，即0≤x≤3，
∴1≤x2+1≤10，即函数f（x）的定义域为[1，10]，
由1≤2x﹣1≤10，得1≤x≤．
∴f（2x﹣1）的定义域为[1，]．
故答案为：[1，]．
4．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，则f（2﹣3x）的定义域为
．
【解答】解：由函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，即﹣1＜x≤2，得﹣3＜2x﹣1≤3，
∴f（x）的定义域为（﹣3，3]．
由﹣3＜2﹣3x≤3，得＜．
∴f（2﹣3x）的定义域为[﹣，）．
故答案为：[﹣，）．
5．设f（x）=，则f（）+f（2x﹣1）的定义域为
．
【解答】解法一：∵f（x）=，
∴f（）+f（2x﹣1）
=+
=
=，
∴，
解得，
∴f（）+f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，]∪（，2）．
解法二：∵f（x）=的定义域是{x|}，
解得{x|﹣3≤x＜3}．
∴f（）+f（2x﹣1）的定义域是{x|，
解得﹣1≤x≤，或．
∴f（）+f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，]∪（，2）．
6．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【解答】解：由题意知mx2+4mx+3≠0对任意x∈R恒成立，
（1）若m=0，则mx2+4mx+3=3≠0，符合题意．
（2）若m≠0，则mx2+4mx+3≠0对任意x∈R恒成立，等价于，
解得：，
综上所述，实数m的取值范围是
．
故答案为．
7．已知函数f（x）=的定义域为R，实数m的取值范围是 ．
【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为R，
∴mx2+4mx﹣3≠0对任意实数x都成立，
当m=0时，符合题意；
当m≠0时，需△=16m2+12m＜0，解得．
综上，实数m的取值范围是（﹣，0]．
故答案为：（﹣，0]．
8．函数y=的定义域为R，则k的取值范围 [0，2] ．
【解答】解：要使函数y=的定义域为R，
则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．
当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；
当k≠0时，则，解得0＜k≤2．
综上，k的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
9．函数的值域为 ．
【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，
∴原函数化为y=．
∴数的值域为：．
故答案为：．
10．函数的值域是 ．
【解答】解：令t==﹣1+≠﹣1，
∴的值域是，
故答案为．
11．若函数f（x）=x2﹣2x+3﹣c的最小值为2017，则f（x+2017）的最小值是 2017 ．
【解答】解：函数f（x+2017）的图象由函数f（x）的向左平移2017个单位得到，
函数的最值不变，
由函数f（x）=x2﹣2x+3﹣c的最小值为2017得：
函数f（x+2017）的最小值为2017，
故答案为：2017
二．解答题（共8小题）
12．判断下列各组函数是否为相等函数：
（1）f（x）=f（x）=，g（x）=x﹣5；
（2）f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；
（3）f（x）=|x+1|，g（x）=．
【解答】解：（1）（2）不是，（3）是．
对于（1），f
（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；
对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，
所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；
对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．
13．求解析式：
（1）已知f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）；
（2）已知f（x+）=x2+﹣3，求f（x）；
（3）已知f（x）﹣2f（）=3x+2，求f（x）；
（4）已知f（+1）=x+2，求f（x）．
【解答】解：（1）∵f（2x+1）=4x2+8x+3
=4x2+4x+1+4x+2=（2x+1）2+2（2x+1）
∴f（x）=x2+2x；
（2）∵f（x+）=x2+﹣3
=（x+）2﹣5
∴f（x）=x2﹣5；
（3）∵f（x）﹣2f（）=3x+2，
∴f（）﹣2f（x）=+2，
两式联立消去f（）可得f（x）=﹣﹣x﹣2；
（4）∵f（+1）=x+2=（+1）2﹣1
∴f（x）=x2﹣1，x≥1
14．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式
观察法：（1）求f（x）；
换元法：（2）f（x﹣2）=x2+3x+1求f（x）；
待定系数法：（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
复合函数的解析式：（4）已知f（x）=x2﹣1，，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定义域．
【解答】解：（1）∵=﹣2，∴f（x）=x2﹣2（x≥2或x≤﹣2）；
（2）设t=x﹣2，则x=t+2，代入得：f（t）=（t+2）2+3（t+2）+1=t2+7t+11，
∴f（x）=x2+7x+11；
（3）由题意设f（x）=ax+b，
∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，
∴3a（x+1）+3b﹣2a（x﹣1）﹣2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，
则a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．
（4）∵f（x）=x2﹣1，（x≥﹣1），
∴f[g（x）]]=x+1﹣1=x（x≥﹣1），
∵x2﹣1≥﹣1，
∴g[f（x）]==|x|，且定义域是[﹣1，+∞）．
15．已知函数y=f（x）的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：如图
（1）当x≤1时，
设f（x）=k1x+b1，
∵图象过点（0，2），（1，1），
∴，
∴．
f（x）=﹣x+2；
（2）当1≤x≤3时，
设f（x）=a（x﹣2）2+2，（a＜0），
∵图象过点（1，1），
∴a=﹣1．
∴f（x）=﹣x2+4x﹣2；
（3）当x≥3时，
设f（x）=k2x+b2，
∵图象过点（3，1），（4，2），
∴，
∴．
f（x）=x﹣2．
综上，．
16．根据函数f（x）的图象（如图）写出它的解析式．
【解答】解：当0≤x≤1时，f（x）=2x；
当1＜x＜2时，f（x）=2；
当x≥2时，f（x）=3．
所以f（x）=．
17．画出下列函数的图象
（1）y=
（2）y=x2﹣2|x|
（3）y=|2x﹣1|
【解答】解：（1）y==2+，
其图象由y=的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到，如下图所示：
（2）y=x2﹣2|x|的图象由y=x2﹣2x的图象经过水平对折变换得到，如下图所示：
（3）y=|2x﹣1|的图象由y=2x﹣1的图象经过垂直对折变换得到，如下图所示：
18．作出下列函数图象
（1）y=x+1（x∈{0，1}）；
（2）y=|x|﹣2；
（3）f（x）=|x2﹣2x|．
【解答】解：（1）∵x∈{0，1}，∴x=0或x=1，函数图象只是两个点：
∵f（0）=0+1=1，∴（0，1）是图象的一部分；
∵f（1）=1+1=2，∴（1，2）是图象的一部分；
∴函数的图象为：
（2）函数为偶函数，只画出x＞0的图象，再关于y轴对称即可得x＜0的图象：
（3）先画f（x）=x2﹣2x的图象，再把x轴一下的部分翻转到x轴的上面：
19．作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图．
【解答】解：y=|2|1﹣x|﹣2|=，
图象如图所示函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．填空题（共11小题）
1．函数f（x）=的定义域为
．
2．若函数f（x+1）的定义域[﹣6，2]，则函数f（1﹣x）定义域是
．
3．已知f（x2+1）定义域为[0，3]，则
f（2x﹣1）的定义域为
．
4．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，则f（2﹣3x）的定义域为
．
5．设f（x）=，则f（）+f（2x﹣1）的定义域为
．
6．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是
．
7．已知函数f（x）=的定义域为R，实数m的取值范围是
．
8．函数y=的定义域为R，则k的取值范围
．
9．函数的值域为
．
10．函数的值域是
．
11．若函数f（x）=x2﹣2x+3﹣c的最小值为2017，则f（x+2017）的最小值是
．
二．解答题（共8小题）
12．判断下列各组函数是否为相等函数：
（1）f（x）=f（x）=，g（x）=x﹣5；
（2）f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；
（3）f（x）=|x+1|，g（x）=．
13．求解析式：
（1）已知f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）；
（2）已知f（x+）=x2+﹣3，求f（x）；
（3）已知f（x）﹣2f（）=3x+2，求f（x）；
（4）已知f（+1）=x+2，求f（x）．
14．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式
观察法：（1）求f（x）；
换元法：（2）f（x﹣2）=x2+3x+1求f（x）；
待定系数法：（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
复合函数的解析式：（4）已知f（x）=x2﹣1，，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定义域．
15．已知函数y=f（x）的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数f（x）的解析式．
16．根据函数f（x）的图象（如图）写出它的解析式．
17．画出下列函数的图象
（1）y=
（2）y=x2﹣2|x|
（3）y=|2x﹣1|
18．作出下列函数图象
（1）y=x+1（x∈{0，1}）；
（2）y=|x|﹣2；
（3）f（x）=|x2﹣2x|．
19．作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图．
