不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一、单选题
1．已知实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值为（
）
A．4
B．
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，做出平面区域，根据几何意义求解即可.
【详解】
不等式组表示的平面区域为图中的(包括边界)，
由图知，平移直线，当经过点C时，取得最小值，
易得，即.
故选：C.
【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，是基础题.
二、填空题
2．设，满足约束条件则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.
【详解】
画出约束条件表示的平面区域如下，
因为目标函数可化为，
因此表示直线在轴截距的倍，
由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大；
当直线过点时，在轴的截距最小；
由解得，此时；
由得，此时，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求线性目标函数的范围，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
3．若x，y满足约束条件，则的最大值是________．
【答案】10
【解析】
【分析】
先根据不等式组画出可行域，再根据目标函数求得最大值即可.
【详解】
根据约束条件画出可行域如下：
作目标函数的一系列平行线，可知直线过A点时z最大.
由得，故的最大值为.
故答案为：10.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题.
4．已知实数满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件表示的可行域，如图，
由可得，得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
所以的最大值为.
故答案为：7.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.
5．若实数，满足约束条件，则的最小值是______.
【答案】5
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，根据图形即可判断取最小值的点.
【详解】
由约束条件得可行域如图中阴影部分所示，
由，解得，
由图知，当直线经过点时，取得最小值为.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
6．若实数，满足约束条件，则的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，根据目标函数式知是直线在直角坐标系中平移过程中的截距，即当目标函数与可行域有交点时的最大截距即为其最大值.
【详解】
作出可行域，如下图所示：
在可行城内平移直线，当直线经过点时，
直线在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，
解得，所以的最大值是．
故答案为：8.
【点睛】
本题考查了线性规划，应用数形结合，根据目标函数的几何意义求最值，属于简单题.
7．已知实数、满足条件，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求得目标函数的最小值，得到答案.
【详解】
作出不等式组所标示的平面区域，如图所示，
由，可得直线，当直线平移到点B时，此时直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，
又由，解得，
所以目标函数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
三、解答题
8．设x、y满足约束条件
（1）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；
（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，求的最小值.
【答案】（1）图象见解析，10；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）利用约束条件画出可行域，然后求解可行域的面积即可.
（2）求出目标函数的最优解，得到ab的关系式，然后利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】
解：（1）x、y满足约束条件的可行域为：
由，解得C（4，6），A（2，0），B（0，2）
可行域的面积为：=10.
（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，可知，z=ax+by经过C时，取得最大值，可得4a+6b=4?a+b=1
；
当且仅当2a=3b=1时取得最小值4.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键.
9．设满足约束条件.
（1）求目标函数的取值范围；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.
【答案】（1）（2）a<1
【解析】
【分析】
（1）的几何意义是点与点连线的斜率，观察可行域可得斜率的取值范围；
（2）若目标函数仅在点处取得最大值，判断目标函数的斜率，可得到结论.
【详解】
解：（1）不等式表示的可行域，如图阴影部分：
的几何意义是点与点连线的斜率，
联立方程组可得，
观察图像得：，
又，
所以目标函数的取值范围是；
（2）若目标函数仅在点处取得最大值，
由得，
如图：
可得，
解得.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键.注意使用数形结合.
10．已知，满足约束条件．
（1）作出可行域；
（2）求的最值；
（3）求的最值．
【答案】（1）答案见解析；（2），；（3），．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式组可直接作出可行域；
（2）平移动直线至A、B后可得的最值；
（3）考虑可行域中的动点与定点连线段的长度的最值后可得的最值.
【详解】
（1）可行域如图阴影部分所示：
（2）如图，由可得，由可得，
将动直线平移至点时，取最大值且最大值为，
平移至点时，取最小值且最小值为.
故，.
（3）表示可行域中的动点与定点之间的距离的平方（如图所示）.
因为，，
故，.
【点睛】
本题考查线性规划与非线性规划，注意寻找目标函数的几何意义（如直线的截距、直线的斜率、动点到定点的距离等），本题属于中档题.
11．设变量、满足约束条件：．求目标函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】
画出不等式表示的可行域，如图：
联立，解得，可得点.
让目标函数表示直线在可行域上平移，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一、单选题
1．已知实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值为（
）
A．4
B．
C．6
D．7
二、填空题
2．设，满足约束条件则的取值范围是__________.
3．若x，y满足约束条件，则的最大值是________．
4．已知实数满足约束条件，则的最大值为______.
5．若实数，满足约束条件，则的最小值是______.
6．若实数，满足约束条件，则的最大值是______．
7．已知实数、满足条件，则的最小值为__________．
三、解答题
8．设x、y满足约束条件
（1）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；
（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，求的最小值.
9．设满足约束条件.
（1）求目标函数的取值范围；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.
10．已知，满足约束条件．
（1）作出可行域；
（2）求的最值；
（3）求的最值．
11．设变量、满足约束条件：．求目标函数的最小值．
